Question

【题目】如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于点，垂足为点，连接.

（1）求证：；

（2）如图，当点是中点时，连接.

①四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；

②当 时，四边形是正方形.（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①菱形，理由见解析；②.

【解析】

（1）证明DE∥AC，利用平行四边形的判定和性质得结论；
（2）①先证明四边形BECD是平行四边形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半说明邻边相等，证明该四边形是菱形；
②由菱形、正方形、平行四边形的性质可得结论．

（1）∵

∴

∵,

∴

∴,.

∴四边形为平行四边形

∴.

（2）

①四边形BECD是菱形．
∵由（Ⅰ）知：四边形DECA是平行四边形，
∴CE=DA，CE∥AD
在Rt△ABC中，∵点D是AB的中点，
∴BD=DC=DA，

∴四边形BECD是菱形．
②当∠A=45°时，
由于四边形DECA是平行四边形，
∴∠EDB=∠A=45°，
又∵BE=BD，
∴∠BED=∠EDB=45°，
∴∠EBD=90°．
由于四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形．
故答案为：45°