Question

6．如图1，在?ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．
（1）如图1，若点G在CD的延长线上，点F为AE的中点，$\frac{CD}{CG}$=$\frac{1}{2}$；
（2）如图2，若点G在边CD上，$\frac{AF}{EF}$=2，则$\frac{CD}{CG}$=1；
（3）如图2，若点G在边CD上，$\frac{AF}{EF}$=m，求$\frac{CD}{CG}$的值（用m的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）如图1，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC，得到△AFH∽△FBE，△GHD∽△GBC，列比例式即可得到结果．
（2）如图2，由（1）得，AH∥BC，得到△AHF∽△BFE，得到$\frac{AH}{BE}$=$\frac{AF}{EF}$=2，答案即可得解．
（3）如图2，由（2）得△AHF∽△EFB，得到$\frac{AH}{BE}$=$\frac{AF}{EF}$=m，由△HDG∽△HAB，得到$\frac{DH}{AH}$=$\frac{DG}{AB}$=$\frac{DG}{CD}$=$\frac{m-2}{m}$，即可得到答案$\frac{CD}{CG}$=$\frac{m}{2}$．

解答 解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△AFH∽△FBE，
∴$\frac{AH}{BE}$=$\frac{AF}{EF}$=1，
∴AH=BE，
∴DH=AH=$\frac{1}{2}$BC，
∵DH∥BC，
∴△GHD∽△GBC，
∴$\frac{DH}{BC}$=$\frac{DG}{CG}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$；

（2）如图2，延长AD，BG相交于点H，
由（1）得，AH∥BC，
∴△AHF∽△BFE，
∴$\frac{AH}{BE}$=$\frac{AF}{EF}$=2，
∵$\frac{AD}{BE}$=2，
∴AH=AD，
∴点D，G重合，
∴$\frac{CD}{CG}$=1；
故答案为：1；

（3）如图2，由（2）得△AHF∽△EFB，
∴$\frac{AH}{BE}$=$\frac{AF}{EF}$=m，
∴AH=mBE=$\frac{m}{2}$BC，
∴DH=$\frac{m}{2}$BC-BC=$\frac{m-2}{2}$BC，
∵CD∥AB，CD=AB，
∴△HDG∽△HAB，
∴$\frac{DH}{AH}$=$\frac{DG}{AB}$=$\frac{DG}{CD}$=$\frac{m-2}{m}$，
∴$\frac{CD}{CG}$=$\frac{m}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．