Question

15．如图，抛物线C₁：y=ax²+2ax+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M为此抛物线的顶点，若△ABC的面积为12．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．
①直接写出点P所经过的路线长为$\sqrt{5}$；
②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接PE、PF、EF，在旋转过程中，求EF的最小值；
（3）将抛物线C₁平移得到抛物线C₂，已知抛物线C₂的顶点为N，与直线AC交于E、F两点，若EF=AC，求直线MN的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的解析式可求出OC长，根据△ABC的面积可求出AB的长，易得抛物线的对称轴为x=-1，根据抛物线的对称性可求出点A、点B的坐标，然后把点B（或点A）的坐标代入抛物线的解析式就可解决问题；
（2）①易得点P运动的路径是△ABC的中位线P₁P₂，只需运用勾股定理求出BC长，然后运用三角形中位线定理就可解决问题；②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PE=PA=PD=PF，由此可得点A、E、D、F在以点P为圆心，$\frac{1}{2}$AD为半径的圆上，根据圆周角定理可得∠EPF=2∠EAF．易得∠EAF=45°，则有∠EPF=90°，根据勾股定理可得EF=$\sqrt{2}$PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD．根据“点到直线之间垂线段最短”可得当AD⊥BC时，AD最小，此时EF最小，然后只需运用面积法求出此时AD的值，即可得到EF的最小值；
（3）运用待定系数法可求得直线AC的解析式为y=x+4，由EF=AC可得MN∥AC，从而可设直线MN的解析式为y=x+t，然后只需求出抛物线的顶点M的坐标，把点M的坐标代入y=x+t即可解决问题．

解答 解：（1）当x=0时，y=4，
则点C的坐标为（0，4），OC=4．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=12，∴AB=6．
∵抛物线C₁：y=ax²+2ax+4的对称轴为x=-$\frac{2a}{2a}$=-1，
∴点A（-1-$\frac{6}{2}$，0）即（-4，0），点B（-1+$\frac{6}{2}$，0）即（2，0），
把B（2，0）代入y=ax²+2ax+4，得4a+4a+4=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4；

（2）①在Rt△BOC中，
BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵点D是线段BC一点，P是线段AD的中点，
∴点P运动的路径是△ABC的中位线P₁P₂，如图1，

则P₁P₂=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{5}$．
故答案为$\sqrt{5}$；
②如图2，

∵DE⊥AC，DF⊥AB，P是线段AD的中点，
∴PE=PA=PD=PF，
∴点A、E、D、F在以点P为圆心，$\frac{1}{2}$AD为半径的圆上，
∴∠EPF=2∠EAF．
∵OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴∠EPF=90°，
∴EF=$\sqrt{P{E}^{2}+P{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
当AD⊥BC时，AD最小，此时EF最小，
此时，S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$•AD=12，
解得：AD=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
此时EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{12\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
则EF的最小值为$\frac{6\sqrt{10}}{5}$；

（3）如图3，

设直线AC的解析式为y=mx+n，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{n=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x+4．
由EF=AC可得MN∥AC．
可设直线MN的解析式为y=x+t．
∵点M是抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4的顶点，
∴点M的坐标为（-$\frac{-1}{-1}$，$\frac{-8-1}{-2}$）即（-1，$\frac{9}{2}$），
把M（-1，$\frac{9}{2}$）代入y=x+t，得
-1+t=$\frac{9}{2}$，
解得t=$\frac{11}{2}$，
∴直线MN的解析式为y=x+$\frac{11}{2}$．

点评 本题主要考查了抛物线上点的坐标特征、抛物线的对称性、运用待定系数法求抛物线及直线的解析式、四点共圆的判定、圆周角定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两平行直线之间的关系、点到直线之间垂线段最短等知识，有一定的综合性，运用圆周角定理得到∠EPF=2∠EAF=90°是解决第2②小题的关键，把EF=AC转化为MN∥AC是解决第3小题的关键．