Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别是、，为顶点．

（1）求、的值和顶点的坐标；

（2）在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），，(-1，4)；（2）在y轴上存在点D (0，3)或D (0，1)，使△ACD是以AC为斜边的直角三角形

【解析】

(1)把A(-3，0)，B(1，0)代入解方程组即可得到结论；
(2)过C作CE⊥y轴于E，根据函数的解析式求得C(-1，4)，得到CE=1，OE=4，设，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．

(1)把A(3,0)、B(1,0)分别代入，

，

解得：，，

则该抛物线的解析式为：，

∵，

所以顶点的坐标为(，)；

故答案为：，，顶点的坐标为(，)；

(2)如图1，过点作⊥轴于点，

假设在轴上存在满足条件的点，

设(0，)，则，

∵，

∴，，,，

由∠90得∠1∠290，

又∵∠2∠390，

∴∠3∠1，

又∵∠CED∠DOA90，

∴△∽△，

∴，

则，

变形得，

解得，．

综合上述：在y轴上存在点(0，3)或(0，1)，使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．