Question

17．如图，点E（3，4）在平面直角坐标系中的⊙O上，⊙O与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，点F在线段AB上运动，点G与点F关于AE对称，HF⊥FG于点F，并交GE的延长线于点H，连接CE．

（1）求⊙O的半径和∠AEC的度数；
（2）求证：HE=EG；
（3）若点F在运动过程中的某一时刻，HG恰好与⊙O相切，求出此时点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点E的坐标利用勾股定理求得圆的半径，然后利用院内接四边形的性质求得∠AEC的度数即可；
（2）连接EF，则得到EF=EG，从而得到∠EFG=∠G，然后根据∠HFG=90°，得到∠EFH=∠H，利用等角对等边得到EF=HE，从而证得HE=EG；
（3）如图，连接OE、EF，根据HG为切线得到∠GEA+∠OEA=90°，然后根据OE=OA得到∠OEA=∠EAO，再利用点G与点F关于AE对称，得到∠GEA=∠AEF，进而得到EF⊥AB，从而求得结论．

解答 解：（1）∵点E（3，4），
∴⊙O的半径为$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠AOC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠AEC=135°；

（2）如图1，连接EF，

则EF=EG，
∴∠EFG=∠G，
∵∠HFG=90°，
∴∠EFH=∠H，
∴EF=HE，
∴HE=EG；
（3）如图2，

连接OE、EF，
∵HG为切线，
∴∠GEA+∠OEA=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠EAO，
∵点G与点F关于AE对称，
∴∠GEA=∠AEF，
∴∠AEF+∠EAO=90°，
∴EF⊥AB，
∴点F的坐标为（3，0）．

点评 本题考查了圆的综合题．解答该题时，用到了坐标与图形的性质、切线的判定与性质等知识点．在解答（3）题时，也用到了对称点的性质，难度较大．