分析 如图,取点K(1,0),连接OP、PK、BK.由△POK∽△AOP,可得$\frac{PK}{PA}$=$\frac{OP}{OA}$=$\frac{1}{2}$,推出PK=$\frac{1}{2}$PA,在△PBK中,PB+PK≥BK,推出PB+$\frac{1}{2}$PA=PB+PK的最小值为BK的长.
解答 解:如图,取点K(1,0),连接OP、PK、BK.
∵OP=2,OA=4,OK=1,
∴$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OK}{OP}$=$\frac{1}{2}$,∵∠POK=∠AOP,
∴△POK∽△AOP,
∴$\frac{PK}{PA}$=$\frac{OP}{OA}$=$\frac{1}{2}$,
∴PK=$\frac{1}{2}$PA,
∴PB+$\frac{1}{2}$PA=PB+PK,
在△PBK中,PB+PK≥BK,
∴PB+$\frac{1}{2}$PA=PB+PK的最小值为BK的长,
∵B(4,4),K(1,0),
∴BK=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5.
故答案为5.
点评 本题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考填空题中的压轴题.
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