Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．

(1)求点D到BC的距离DH的长；

(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；

(3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）DH=；（2）；（3）存在，x为或或6

【解析】

（1）根据三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根据相似三角形的性质求出DH的长；

（2）根据△RQC∽△ABC，根据三角形的相似比求出y关于x的函数关系式；

（3）画出图形，根据图形进行讨论： PQ＝PR、 PQ＝RQ、 PR＝QR ．

（1）在Rt△ABC中，

∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，

∴BC＝＝10．

∵∠DHB＝∠A＝90°，∠B＝∠B．

∴△BHD∽△BAC，

∴＝，

∴DH＝AC＝×8＝

（2）∵QR∥AB，

∴∠QRC＝∠A＝90°．

∵∠C＝∠C，

∴△RQC∽△ABC，

∴＝，∴＝，

即y关于x的函数关系式为：y＝x+6．

（3）存在，分三种情况：

①当PQ＝PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM＝RM．

∵∠1+∠2＝90°，∠C+∠2＝90°，

∴∠1＝∠C．

∴cos∠1＝cosC＝＝，

∴＝，

∴＝，

∴x＝．

②当PQ＝RQ时，

﹣x+6＝，

∴x＝6．

③作EM⊥BC，RN⊥EM，

∴EM∥PQ，

当PR＝QR时，则R为PQ中垂线上的点，

∴EN＝MN，

∴ER＝RC，

∴点R为EC的中点，

∴CR＝CE＝AC＝2．

∵tanC＝＝，

∴＝，

∴x＝．

综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．