Question

如图(1)，∆ABC为等边三角形，AB=6，在直角三角板DEF中∠F=90°，∠FDE=60°，点D在边BC上运动，边DF始终经过点A，DE交AC于点G.

(1)求证:①∠BAD=∠CDG
②∆ABD∽∆DCG
(2)设BD=x,若CG=，求x的值；
(3)如图2，当D运动到BC中点时，点P为线段AD上一动点，连接CP，将线段CP绕着点C逆时针旋转60°得到CP' ，连接BP'，DP'，

①求∠CBP'的度数；②求DP'的最小值.

Answer 1

（1）①详见解析；②详见解析；（2）x₁=1,x₂=5;(3) ①∠CBP'="30°" ; ②DP′=1.5.

试题分析：(1) ①利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可求证. ②利用两角相等的三角形相似.(2)利用前面所得的三角形相似，由对应边成比例，可求得x的值.（3）①根据旋转的性质，旋转前后的图形对应线段、对应角相等，可证得△ACP≌△BCP′,从而∠CAP=∠CBP′,然后根据等腰三角形的“三线合一”性质，得到∠CBP′=30°. ②根据“垂线段最短”这一定理，当∠BP′D=90°时，DP′最短.
试题解析：(1)①∵∠ADC=∠B+∠BAD, ∠ADC=∠ADG+∠CDG
∴∠B+∠BAD=∠ADG+∠CDG
∵三角形ABC是等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∵∠ADG=60°
∴∠BAD=∠CDG
②由①知∠BAD=∠CDG
∵∠B=∠C
∴△ABD∽△DCG
(2)由（1）知△ABD∽△DCG，所以AB:CD=BD:CG,CD=6-x,AB=6,CG=,BD=x,代入可求得：x=1或5.
(3) ①由旋转知∠PCP′=60°,CP=CP′,
∵△ABC是等边三角形
∴AC="BC," ∠ACB=60°
∴∠ACP=∠BCP′
∴△ACP≌△BCP′
∠CBP′=∠CAD=30°
②根据“垂线段最短”可知，当DP′⊥BP′时，DP′最短，此时，由于∠CBP′=30°,所以DP′=BD=1.5.