Question

20．如图，在直角坐标系中，已知A（0，4）、B（4，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，在三角形AOB内部做正方形OPQR，使P、R、Q三点分别在线段OA、OB、AB上，将正方形OPQR绕点O顺时针旋转时，求点C到点Q距离的最大值与最小值．

Answer 1

分析 作CH⊥x轴于H，如图，易得△AOB为等腰直角三角形，则AB=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，再利用四边形形OPQR为正方形得到OR=BR=QR=2，所以OQ=$\sqrt{2}$OR=2$\sqrt{2}$，接着利用△BHC为等腰直角三角形得到CH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4，利用勾股定理计算出OC=4$\sqrt{5}$，连接OQ、CQ，如图，利用两点之间线段最短，当点Q在线段OC上时，CQ最短，此时CQ=OC-OQ；当点Q在线段OC的反向延长线上时，CQ最长，此时CQ=OC+OQ，从而得到点C到点Q距离的最大值与最小值．

解答 解：作CH⊥x轴于H，如图，
∵A（0，4）、B（4，0），
∴OA=OB=4，
∴△AOB为等腰直角三角形，AB=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，
∵四边形形OPQR为正方形，
∴OR=BR=QR=2，
∴OQ=$\sqrt{2}$OR=2$\sqrt{2}$，
易得△BHC为等腰直角三角形，
而四边形形ABCD为正方形，
∴BC=AB=4$\sqrt{2}$，
∴CH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4，
在Rt△OCH中，OC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
连接OQ、CQ，如图，
当点Q在线段OC上时，CQ最短，此时CQ=OC-OQ=4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{2}$；
当点Q在线段OC的反向延长线上时，CQ最长，此时CQ=OC+OQ=4$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$，
即点C到点Q距离的最大值为4$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$，最小值为4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：利用旋转的性质画图或进行几何计算．也考查了正方形的性质．