Question

8．如图，已知点A的坐标为（-2$\sqrt{3}$，2），点B的坐标为（-1，-$\sqrt{3}$），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求菱形ABCD的面积；
（3）求经过A、B、D三点的抛物线解析式，并写出其对称轴方程与顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质可知点A和点C关于原点对称，B、D关于原点对称，结合条件可求得D点的坐标；
（2）由勾股定理求出OA和OB的长，得出AC和BD的长，即可求出菱形的面积；
（3）由待定系数法求出抛物线解析式，再化成顶点式，即可得出对称轴和顶点坐标．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
又∵点O为坐标原点，
∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称，
∵点A的坐标为（-2$\sqrt{3}$，2），B点坐标为（-1，-$\sqrt{3}$），
∴C点坐标为（2$\sqrt{3}$，-2），D点坐标为（1，$\sqrt{3}$）；
（2）∵点A的坐标为（-2$\sqrt{3}$，2），点B的坐标为（-1，-$\sqrt{3}$），
∴OA=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=4，OB=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴AC=2OA=8，BD=2OB=4，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×8×4=16；
（3）设经过A、B、D三点的抛物线解析式为y=ax²+bc+c，
把A、B、D三点的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{12a-2\sqrt{3}b+c=2}&{\;}\\{a-b+c=-\sqrt{3}}&{\;}\\{a+b+c=\sqrt{3}}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{8}{11}}&{\;}\\{b=\sqrt{3}}&{\;}\\{c=-\frac{8}{11}}&{\;}\end{array}\right.$，
∴过A、B、D三点的抛物线解析式为y=$\frac{8}{11}$x²+$\sqrt{3}$x-$\frac{8}{11}$；
∵y=$\frac{8}{11}$x²+$\sqrt{3}$x-$\frac{8}{11}$=$\frac{8}{11}$（x+$\frac{11\sqrt{3}}{16}$）²-$\frac{619}{352}$，
∴对称轴为x=-$\frac{11\sqrt{3}}{16}$，顶点坐标为（-$\frac{11\sqrt{3}}{16}$，-$\frac{619}{352}$）．

点评 本题考查了菱形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理、菱形面积的计算等知识，熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．