Question

6．若a+b+c+10=2$\sqrt{a}$-4$\sqrt{b}$+6$\sqrt{c}$在实数范围内成立，求c^b+a．

Answer 1

分析 利用配方法将原方程转化为（$\sqrt{a}$-1）²+$\sqrt{b}$（$\sqrt{b}$+4）+（$\sqrt{c}$-3）²=0的形式，由非负数的性质可以得到a、b、c的值，最后将其代入所求的代数式进行求值即可．

解答 解：由a+b+c+10=2$\sqrt{a}$-4$\sqrt{b}$+6$\sqrt{c}$，得
a+b+c+10-2$\sqrt{a}$+4$\sqrt{b}$-6$\sqrt{c}$=0，
（$\sqrt{a}$-1）²+$\sqrt{b}$（$\sqrt{b}$+4）+（$\sqrt{c}$-3）²=0．
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{a}-1=0}\\{\sqrt{b}（\sqrt{b}+4）=0}\\{\sqrt{c}-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=16}\\{c=9}\end{array}\right.$．
所以c^b+a=9¹⁺¹⁶=9¹⁷．

点评 本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程，配方法的理论依据是公式a²±2ab+b²=（a±b）²；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．