Question

已知x³+x²+x+1=0，则1+x+x²+x³+…x²⁰¹⁹的值是

 

．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：

分析：观察整式1+x+x²+x³+…+x²⁰¹⁹通过提取公因式，可分解为含有因式1+x+x²+x³的形式．再将1+x+x²+x³的值作为一个整体代入求解．

解答：解：∵1+x+x²+x³=0，
∴1+x+x²+x³+…+x²⁰¹⁹
=1+x+x²+x³+x⁴（1+x+x²+x³）+x⁸（1+x+x²+x³）+…+x²⁰¹²（1+x+x²+x³）+x²⁰¹⁶（1+x+x²+x³），
=（1+x+x²+x³）（1+x⁴+x⁸+x¹²+…+x²⁰¹²+x²⁰¹⁶），
=0．
故答案为：0．

点评：本题考查了因式分解，解决本题的关键是对1+x+x²+x³+…+x²⁰¹⁹分解成为含有因式1+x+x²+x³的形式．