Question

已知抛物线y=x²-px+

p

2

-

1

4

（1）若抛物线与y轴交点的坐标为（0，1），求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）证明：无论p为何值，抛物线与x轴必有交点；
（3）若抛物线的顶点在x轴上，求出这时顶点的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：（1）将抛物线与y轴的交点代入解析式求出p的值，即可求出抛物线与x轴的交点；
（2）找出a，b，c的值，表示出根的判别式，配方后利用完全平方式的性质判断得到根的判别式大于等于0，即可得证；
（3）表示出顶点坐标，根据顶点在x轴上，得到纵坐标为0，即可确定出p的值，进而得出顶点坐标．

解答：解：（1）对于抛物线y=x²-px+

p

2

-

1

4

，
将x=0，y=1代入得：

p

2

-

1

4

=1，即p=

5

2

，
∴抛物线解析式为y=x²-

5

2

x+1，
令y=0，得到x²-

5

2

x+1=0，
解得：x₁=

1

2

，x₂=2，
则抛物线与x轴交点的坐标为（

1

2

，0）与（2，0）；
（2）∵△=p²-4（

p

2

-

1

4

）=p²-2p+1=（p-1）²≥0，
∴无论p为何值，抛物线与x轴必有交点；
（3）抛物线顶点坐标为（

p

2

，-

p2

4

+

p

2

-

1

4

），
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴-

p2

4

+

p

2

-

1

4

=0，
解得：p=1，
则此时顶点坐标为（

1

2

，0）．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，以及顶点坐标公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．