Question

某商店销售一种产品，产品的进价是100元/件，物价部门规定，每件产品的售价不低于进价，且获利不得超过其进价．这种产品的月销售量y（件）与实际售价x（元/件）之间的关系如下表：

实际售价（元/价）	…	150	160	168	180	…
月销售量y（件）	…	500	480	464	440	…

此外，销售该产品的总开支z（元）（不含进价）与月销售量y（件）存在如下的函数关系，z=20y+4000
（1）请你猜想y（件）与x（元/件）之间可能存在怎样的函数关系；试求出y与x之间的函数表达式并写出自变量的取值范围．
（2）该商店销售这种产品的月利润为P（元），求P与x之间的函数表达式；（注：月利润=月销售额-成本-总开支）
（3）求该商店销售这种产品的月利润最大值是多少元？

Answer 1

解：（1）设y=kx+b，将（150，500）、（160，480）代入可得：
，
∴y=-2x+800（100≤x≤400）．

（2）P=yx-100y-z
=-2x²+800x-100（-2x+800）-[20（-2x+800）+4000]
=-2x²+1000x-80000+40x-16000-4000
=-2x²+1000x-80000+40x-16000-4000
=-2x²+1040x-100000．

（3）∵P=-2x²+1040x-100000=-2（x-260）²+35200，
∵获利不得超过其进价，
∴当x=200时，
∴该商店销售这种产品的月利润最大值是28000元．
分析：（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．
（2）根据月利润=月销售额-成本-总开支可表示出P与x之间的函数表达式．
（3）利用二次函数的最值可得出月利润最大值．
点评：本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．