Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC，以O为圆心，OB为半径的圆经过点A，交AC于点N，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）试猜想线段CD、NE和⊙O半径r之间的数量关系，并说明理由；
（3）连接OC交DE于点F，若$\frac{OF}{FC}$=$\frac{8}{7}$，求cos∠ABC的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证OD⊥DE，即DE与⊙O相切；
（2）根据圆周角定理证得∠ANB=90°，进而证得OD⊥BN，证得四边形MDCEN是矩形，得出MD=NE，然后根据勾股定理得出BM²=OB²-OM²=BD²-BM²，进而就可证得DC²=2R•NE．
（3）根据OD∥AC，得出$\frac{CE}{OD}$=$\frac{CF}{OF}$=$\frac{7}{8}$，即$\frac{CE}{R}$=$\frac{7}{8}$，根据（2）的结论得出R=$\frac{D{C}^{2}}{2NE}$=$\frac{D{C}^{2}}{2CE}$，代入即可求得$\frac{C{E}^{2}}{D{C}^{2}}$=$\frac{7}{16}$，得出$\frac{CE}{DC}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，根据cos∠ACB=$\frac{CE}{DC}$，从而得出cos∠ABC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

解答 （1）证明：连接OD；
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB．
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB．
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE与⊙O相切．
（2）∵OD⊥DE，DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∵OA=OB，
∴BD=DC，
连接BN，交OD于M，
∵AB是直径，
∴∠ANB=90°，
∴BN⊥OD，
∴四边形MDCEN是矩形，
∴MD=NE，
∵BM²=OB²-OM²=BD²-BM²，
∴R²-（R-NE）²=DC²-NE²，
整理得：DC²=2R•NE．
（3）∵OD∥AC，
∴$\frac{CE}{OD}$=$\frac{CF}{OF}$=$\frac{7}{8}$，
∴$\frac{CE}{R}$=$\frac{7}{8}$，
∵BN⊥OD，DE⊥AC，
∴DE∥BN，
∵BD=DC，
∴CE=NE，
∵DC²=2R•NE．
∴R=$\frac{D{C}^{2}}{2NE}$=$\frac{D{C}^{2}}{2CE}$，
∴$\frac{CE}{\frac{D{C}^{2}}{2CE}}$=$\frac{7}{8}$，
∴$\frac{2C{E}^{2}}{D{C}^{2}}$=$\frac{7}{8}$，
∴$\frac{C{E}^{2}}{D{C}^{2}}$=$\frac{7}{16}$，
∴$\frac{CE}{DC}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∵cos∠ACB=$\frac{CE}{DC}$，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴cos∠ABC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理等，熟练掌握性质定理是解题的关键．