Question

6．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，AB=BD，反比例函数$y=\frac{k}{x}（k≠0）$在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点$E（n，\frac{2}{3}）$．
（1）求m、n的值和反比例函数的表达式．
（2）将矩形OABC的一角折叠，使点O与点D重合，折痕分别与x轴，y轴正半轴交于点F，G，求线段FG的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出$\left\{\begin{array}{l}{2m=\frac{2}{3}n}\\{m=n-2}\end{array}\right.$，解方程即可求得m、n的值，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）设OG=x，则GD=OG=x，CG=2-x，根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可求得DG的长，过F点作FH⊥CB于H，易证得△GCD∽△DHF，根据相似三角形的性质求得FG，最后根据勾股定理即可求得．

解答 解：（1）∵D（m，2），$E（n，\frac{2}{3}）$．
∴AB=BD=2，
∴m=n-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m=\frac{2}{3}n}\\{m=n-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴D（1，2），
∴k=2，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{2}{x}$；
（2）设OG=x，则GD=OG=x，CG=2-x，
在RT△CDG中，x²=（2-x）²+1²，
解得x=$\frac{5}{4}$，
过F点作FH⊥CB于H，
∵∠GDF=90°，
∴∠CDG+∠FDH=90°，
∵∠CDG+∠CGD=90°，
∴∠CGD=∠FDH，
∵∠GCD=∠FHD=90°，
∴△GCD∽△DHF，
∴$\frac{DG}{FD}$=$\frac{CD}{FH}$，即$\frac{4}{FD}$=$\frac{1}{2}$，
∴FD=$\frac{5}{2}$，
∴FG=$\sqrt{F{D}^{2}+G{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{5}{4}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，矩形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，三角形相似等，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．