Question

15．已知点P在⊙O内，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把PA•PB的值称为点P关于⊙O的“幂值”．
（1）⊙O的半径为5，OP=3．
①如图1，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为16；
②判断当弦AB的位置改变时，试判断点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙O的“幂值”的取值范围．
（2）若⊙O的半径为r，OP=d，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围点P关于⊙O的“幂值”为r²-d²；
（3）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，若在直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b（b＞0）上存在点P，使得点P关于⊙O的“幂值”为13，过点O作OP⊥AB，直线OP的解析式为y=-$\sqrt{3}$x，请写出b的取值范围-2≤b≤2．

Answer 1

分析 （1）①如图1所示：连接OA、OB、OP．由等腰三角形的三线合一的性质得到△PBO为直角三角形，然后依据勾股定理可求得PB的长，然后依据幂值的定义求解即可；
②过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′．先证明△APA′∽△B′PB，依据相似三角形的性质得到PA•PB=PA′•PB′从而得出结论；
（2）连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点．由等腰三角形三线合一的性质可知AP=PB，然后在Rt△APO中，依据勾股定理可知AP²=OA²-OP²，然后将d、r代入可得到问题的答案；
（3）由直线AB和OP的解析式，得到点P的坐标，然后由题意圆的幂值为13，半径为4可求得d的值，然结合两点间的距离公式可求得得到关于b的方程从而可求得b的极值，故此可确定出b的取值范围．

解答 解：（1）①如图1所示：连接OA、OB、OP．

∵OA=OB，P为AB的中点，
∴OP⊥AB．
∵在△PBO中，由勾股定理得：PB=$\sqrt{O{B}^{2}-O{P}^{2}}$=4，
∴PA=PB=4．
∴⊙O的“幂值”=4×4=16．
故答案为：16．
②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值．
证明：如图，AB为⊙O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直．过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′．

∵在⊙O中，∠AA′P=∠B′BP，∠APA′=∠BPB′，
∴△APA′∽△B′PB．
∴$\frac{PA}{PB'}=\frac{PA'}{PB}$．
∴PA•PB=PA′•PB′=16．
∴当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值．
（2）如图3所示；连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点．

∵AO=OB，PO⊥AB，
∴AP=PB．
∴点P关于⊙O的“幂值”=AP•PB=PA²．
在Rt△APO中，AP²=OA²-OP²=r²-d²．
∴关于⊙O的“幂值”=r²-d²．
故答案为：点P关于⊙O的“幂值”为r²-d²．

（3）如图4所示：过点O作OP⊥AB．

∵OP⊥AB，
∴直线OP的解析式为y=-$\sqrt{3}$x．
将y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b①与y=-$\sqrt{3}$x②
联立①②解得：x=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$b，y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b．
∴点P的坐标为（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$b，$\frac{\sqrt{3}}{4}$b）．
∵点P关于⊙O的“幂值”为13，
∴r²-d²=13．
∴d²=3，即（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$b）²+（ $\frac{3}{4}$b）²=3．
整理得：b²=4．
∴b的取值范围是-2≤b≤2．
故答案为：-2≤b≤2．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了幂值的定义、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定、一次函数的交点问题、两点间的距离公式，依据两点间的距离公式列出关于b的方程，从而求得b的极值是解题的关键．