Question

【题目】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

（1）下图反映了任何一个三角形数是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；

（2）通过猜想，写出（1）中与第八个点阵相对应的等式　 ；

（3）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．结合（1）观察下列点阵图，并在⑤看面的横线上写出相应的等式．

（4）通过猜想，写出（3）中与第n个点阵相对应的等式　 ；

（5）判断256是不是正方形数，如果不是，说明理由；如果是，256可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？

Answer 1

【答案】（1）1+2+3+4＝=10；（2）1+2+3+…+8＝；（3）10+15＝52；（4）＝n2；（5）是正方形数，可以看作是120、136两个相邻的三角形数的和.

【解析】

（1）根据计算方法写出即可；

（2）根据求解规律，用点阵的序数乘比序数大1的数，再除以2即可；

（3）根据（1）中三角形数的规律写出即可；

（4）用第（n1）个三角形数加上第n个三角形数，整理即可得解；

（5）根据256＝162可得是正方形数，然后再计算三角形数即可．

解：（1）④1+2+3+4＝=10；

（2）第八个点阵相应的等式：1+2+3+…+8＝；

（3）⑤10+15＝52；

（4）第n个点阵相对应的等式：＝n2；

（5）∵256＝162，

∴256是正方形数，

而1+2+3+…+16=136，1+2+3+…+15=120，

∴可以看作是120、136这两个相邻的三角形数的和．