【题目】阅读材料:为解方程(x2﹣1)2﹣5(x2﹣1)+4=0,我们可以将x2﹣1视为一个整体,然后设x2﹣1=y,则(x2﹣1)2=y2,原方程化为y2﹣5y+4=0.
解得y1=1,y2=4
当y=1时,x2﹣1=1.∴x2=2.∴x=±;
当y=4时,x2﹣1=4,∴x2=5,∴x=±.
∴原方程的解为x1=,x2=﹣,x3=,x4=﹣,
请利用以上知识解决下列问题:
如果(m2+n2﹣1)(m2+n2+2)=4,则m2+n2=__.
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【题目】如图,在菱形中,对角线、交于点,已知,.
(1)求的长;
(2)点为直线上的一个动点,连接,将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段(即,交于点.
①当时,求的长;
②连接、,当的长度最小时,求的面积.
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【题目】如图,二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(﹣4,0).
(1)求二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请直接写出点P的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A、B在x轴上,且OA=OB.点P为⊙C上的动点,∠APB=90°,则AB长度的最大值为 _____.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,点P是半径OB上一动点(不与O,B重合),过点P作射线l⊥AB,分别交弦BC,于D、E两点,在射线l上取点F,使FC=FD.
(1)求证:FC是⊙O的切线;
(2)当点E是的中点时,
① 若∠BAC=60°,判断以O,B,E,C为顶点的四边形是什么特殊四边形,并说明理由;
② 若,且AB=20,求OP的长.
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【题目】(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2
(a﹣b)(a2+ab+b)=a3﹣b3
(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4﹣b4
(a﹣b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=a5﹣b5
……
(1)根据规律可得(a﹣b)(an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+…+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1)= (其中n为正整数);
(2)仿照上面等式分解因式:a6﹣b6= ;
(3)根据规律可得(a﹣1)(an﹣1+an﹣2+…+a2+a+1)= (其中n为正整数);
(4)计算:(4﹣1)(410+49+48+…+42+4+1)= ;
(5)计算:(﹣2)2019+(﹣2)2018+(﹣2)2017+…+(﹣2)3+(﹣2)+1= .
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【题目】已知正方形,点是其内部一点.
(1)如图1,点在边的垂直平分线上,将绕点逆时针旋转,得到,当点落在上时,恰好点落在直线上,求的度数;
(2)如图2,点在对角线上,连接,若将线段绕点逆时针旋转后得到线段,试问点是否在直线上,请给出结论,并说明理由;
(3)如图3,若,设,,,请写出、、这三条线段长之间满足的数量关系是____________.
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【题目】如图,二次函数的图象记为,它与x轴交于点O,;将绕点旋转得,交x轴于点;将绕点旋转得,交x轴于点;……如此进行下去,得到一条“波浪线”.若在这条“波浪线”上,则________.
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