Question

19．已知在关于x的分式方程$\frac{k-1}{x-1}=2$①和一元二次方程（2-k）x²+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x₁、x₂，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x₁、x₂，满足x₁（x₁-k）+x₂（x₂-k）=（x₁-k）（x₂-k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x₁、x₂得出m=1和-1，再根据方程有两个整数根得△＞0，得出m＞0或m＜-$\frac{4}{5}$，符合题意，分别把m=1和-1代入方程后解出即可．
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=-1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可做出判断．

解答 解：（1）∵关于x的分式方程$\frac{k-1}{x-1}=2$的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x=$\frac{k+1}{2}$≥0，且$\frac{k+1}{2}$≠1，
∴解得k≥-1且k≠1，
又∵一元二次方程（2-k）x²+3mx+（3-k）n=0中2-k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥-1且k≠1且k≠2；

（2）∵一元二次方程（2-k）x²+3mx+（3-k）n=0有两个整数根x₁、x₂，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：-mx²+3mx+（1-m）=0，即：mx²-3mx+m-1=0，
∴△＞0，即△=（-3m）²-4m（m-1），且m≠0，
∴△=9m²-4m（m-1）=m（5m+4）＞0，
则m＞0或m＜-$\frac{4}{5}$；
∵x₁、x₂是整数，k、m都是整数，
∵x₁+x₂=3，x₁•x₂=$\frac{m-1}{m}$=1-$\frac{1}{m}$，
∴1-$\frac{1}{m}$为整数，
∴m=1或-1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠-1
∴把m=1代入方程mx²-3mx+m-1=0得：x²-3x+1-1=0，
x²-3x=0，
x（x-3）=0，
x₁=0，x₂=3；

（3）|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥-1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=-1，
（2-k）x²+3mx+（3-k）n=0且方程有两个实数根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{3m}{2-k}$=$\frac{3m}{k-2}$=-m，x₁x₂=$\frac{（3-k）n}{2-k}$=$\frac{4}{3}$n，
x₁（x₁-k）+x₂（x₂-k）=（x₁-k）（x₂-k），
x₁²-x₁k+x₂²-x₂k=x₁x₂-x₁k-x₂k+k²，
x₁²+x₂²═x₁x₂+k²，
（x₁+x₂）²-2x₁x₂-x₁x₂=k²，
（x₁+x₂）²-3x₁x₂=k²，
（-m）²-3×$\frac{4}{3}$n=（-1）²，
m²-4n=1，n=$\frac{{m}^{2}-1}{4}$①，
△=（3m）²-4（2-k）（3-k）n=9m²-48n≥0②，
把①代入②得：9m²-48×$\frac{{m}^{2}-1}{4}$≥0，
m²≤4，
则|m|≤2，
∴|m|≤2成立．

点评 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．