Question

9．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别是A（6，6），O（0，0），B（8，0）．点M是OB边上异于O，B的一动点，MN∥AB交OA于点N，点P是AB边上任意点，连接AM，PM，PN，BN．设点M的坐标是（t，0），△PMN的面积为S．
（1）求直线AB的表达式；
（2）当点M的坐标为（2，0）时，求点N的坐标；
（3）求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得直线AB的表达式；
（2）可先求得直线OA的解析式为y=x，可设N（x，x），由平行线分线段成比例可求得ON的长，则可得到关于x的方程，可求得N点的坐标；
（3）由（2）的方法可用t表示出N点坐标，从而可表示出△OMN的面积，可求得△OMN和△OBA的面积比，则可求得其相似比，设O到MN的距离为d，O到AB的距离为h，可得到h到点P到MN的距离，可求得△PMN的面积，即可得到S与t的函数关系式，再利用二次函数的性质，可求得其最大值．

解答 解：
（1）设直线AB解析式为y=kx+b，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=6}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=24}\end{array}\right.$，
∴直线AB的表达式为y=-3x+24；

（2）由题意可得直线OA的解析式为y=x，
∴可设N（x，x），且A（6，6），
∴ON=$\sqrt{2}$x，OA=6$\sqrt{2}$，
∵M（2，0），B（8，0），
∴OM=2，OB=8，
∵MN∥AB，
∴$\frac{ON}{OA}$=$\frac{OM}{OB}$，即$\frac{\sqrt{2}x}{6\sqrt{2}}$=$\frac{2}{8}$，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴N（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

（3）同（2）可知当M（t，0）时，则OM=t，
∴$\frac{\sqrt{2}x}{6\sqrt{2}}$=$\frac{t}{8}$，解得x=$\frac{3}{4}$t，
∴N（$\frac{3}{4}$t，$\frac{3}{4}$t），
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$t•$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{8}{t}^{2}$，
∵A（6，6），B（8，0），
∴S_△OBA=$\frac{1}{2}$×8×6=24，
设O到MN的距离为d，O到AB的距离为h，
∵MN∥AB，
∴△OMN∽△OBA，
∴$\frac{{S}_{△OMN}}{{S}_{△OBA}}$=$\frac{\frac{3}{8}{t}^{2}}{24}$=（$\frac{h}{d}$）²，
∴$\frac{h}{d}$=$\frac{t}{8}$，
∴$\frac{h}{d-h}$=$\frac{t}{8-t}$，即点O到MN的距离与点P到MN的距离之比为$\frac{t}{8-t}$，
∴$\frac{{S}_{△OMN}}{S}$=$\frac{t}{8-t}$，即$\frac{\frac{3}{8}{t}^{2}}{S}$=$\frac{t}{8-t}$，
∴S=-$\frac{3}{8}$t²+3t=-$\frac{3}{8}$（t-4）²+6，
∵-$\frac{3}{8}$＜0，
∴当t=4时，S有最大值6．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质及方程思想等知识点．在（1）中注意利用待定系数法、在（2）中用由勾股定理和相似比分别求得ON的长是解题的关键，在（3）中用t表示出△OMN的面积及P到MN的距离是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．