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1.如图,P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点,过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF.给出以下4个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③EF最短长度为$\sqrt{2}$;④若∠BAP=30°时,则EF的长度为2.其中结论正确的有(  )
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

分析 连接PC,可证得△ABP≌△CBP,结合矩形的性质,可证得PA=EF,国判断①;延长AP交BC于点G,可证得AP⊥EF,可判断②;求得AP的最小值即可求得EF的最短长度,可判断③;当点P在点B或点D时,AP有最大值2,则可判断④;可求得答案.

解答 解:
①如图,连接PC,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABP=∠CBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴AP=PC,
∵PE⊥BC,PF⊥CD,且∠FCE=90°,
∴四边形PECF为矩形,
∴PC=EF,
∴AP=EF,故①正确;
②延长AP交BC于点G,
由①可得∠PCE=∠PFE=∠BAP,
∵PE∥AB,
∴∠EPG=∠BAP,
∴∠EPG=∠PFE,
∵∠EPF=90°,
∴∠EPG+∠PEF=∠PEG+∠PFE=90°,
∴AP⊥EF,故②正确;
③当AP⊥BD时,AP有最小值$\sqrt{2}$,此时P为BD的中点,
由①可知EF=AP,
∴EF的最短长度为$\sqrt{2}$,故③正确;
④当点P在点B或点D位置时,AP=AB=2,
∴EF=AP≤2,
∴当∠BAP=30°时,AP<2,
即EF的长度不可能为2,故④不正确;
综上可知正确的结论为①②③,
故选A.

点评 本题主要考查正方形的性质及全等三角形的性质,构造三角形全等证得AP=EF是解题的关键.

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