Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．

（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC²=AM²+BC²；
（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；
（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN²=AM²+BN²成立吗？
答：　 　（填“成立”或“不成立”）

Answer 1

解：（1）证明：如图，过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，

∵∠ACB=90°，∴BC∥AF。∴△BOC∽△AOF。
∴。
∵O为AB中点，∴OA=OB。∴AF=BC，CO=OF。
∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分线。
∴CM=MF。
在Rt△AMF中，
由勾股定理得：MF²=AM²+AF²=AM²+BC²，
即MC²=AM²+BC²。
（2）还成立。理由如下：
如图，过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，

∵∠ACB=90°，∴BC∥AF。∴△BOC∽△AOF。
∴。
∵OA=OB，∴AF=BC，CO=OF。
∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分线。
∴CM=MF。
在Rt△AMF中，
由勾股定理得：MF²=AM²+AF²=AM²+BC²，
即MC²=AM²+BC²。
（3）成立

试题分析：（1）过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，根据相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根据勾股定理求出即可。
（2）过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，根据相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根据勾股定理求出即可；
（3）结论依然成立。
如图，以MN的中点P为圆心，MN为直径画圆，则因为∠ACB=90°，∠DOE=90°，所以，根据圆周角定理，O、C在⊙P上。

若MN与AB不平行，设⊙P与AB交于另一点F，
根据割线定理，得，
∵点O为AB中点，
∴。
两式相加，得，即。
若MN与AB平行，则易证⊙P与AB相切于点O，
根据切割线定理，得，即
两式相加，得，即。
∴不论MN与AB平行与否，总有。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB²=AC²+BC²，∴。
在Rt△MNC中，由勾股定理得：MN²=CM²+CN²，即，
∴。