Question

如图：已知：△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线，交于点O，过点O画EF∥BC交AB于点E，AC于点F．
（1）写出可用图中字母表示的相等的角，并说明理由；
（2）若∠ABC=60°，∠ACB=80°，求∠A、∠BOC的度数；
（3）根据（2）的解答，请你猜出∠BOC与∠A度数的大小关系．

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质及角平分线的定义得出∠BOE=∠OBC=∠OBE，∠COF=∠OCB=∠FCO；
（2）根据三角形内角和定理可得∠A=180°-∠ABC-∠ACB；先由角平分线的定义求出∠OBC和∠OCB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB；
（3）根据（2）的解答，可猜测出∠BOC与∠A度数的大小关系为：∠BOC=90°+

1

2

∠A．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠BOE，∠OCB=∠COF，
又∵BO、CO分别是∠ACB和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠FCO，
∴∠BOE=∠OBC=∠OBE，∠COF=∠OCB=∠FCO；

（2）在△ABC中，∵∠ABC=60°，∠ACB=80°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=40°；
∵BO、CO分别是∠ACB和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC=30°，∠OCB=

1

2

∠ACB=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=110°；

（3）根据（2）的解答，可猜测出∠BOC与∠A度数的大小关系为：∠BOC=90°+

1

2

∠A．理由如下：
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-

1

2

∠ABC-

1

2

∠ACB=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A．

点评：本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义及三角形内角和定理，难度中等．