Question

阅读下面材料，完成相应的填空：
（1）双循环与单循环问题：
小田是个足球迷，他发现有的比赛是单循环的，就是每两个球队之间只赛一场；有的比赛是双循环的，每两个球队按主客场要赛两场，同时小田又是个数学迷，他想探究如果有n（n≥2）个球队进行双循环比赛，一共要赛多少场？
①小田觉得从特殊情况入手可能会找到灵感，于是他取n=2，要赛2场；n=3，赛6场；n=4，赛12场；那么n=5，要赛

20

场…，由此得出，n（n≥2）个球队进行双循环比赛，一共要赛

n（n-1）

场．
②聪明的小田由①中的结论，很快地得出n（n≥2）个球队单循环比赛场数为

n(n-1)

2

；
（2）知识迁移：①平面内有10个点，且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画

45

条不同的直线．②一个n边形（n≥3）有

n(n-3)

2

条对角线．

Answer 1

分析：（1）①n支球队举行双循环比赛，由于每一球队都要比赛（n-1）场，又每两个球队按主客场要赛两场，所以n（n≥2）个球队一共要赛 n（n-1）场；
②由于是单循环比赛，每两个球队之间只赛一场，则共比赛

n(n-1)

2

；
（2）①根据第（1）题可知当n=10时，一共可以画（10×9）÷2=45条直线；
②从n边形的一个顶点出发，能引出（n-3）条对角线，一共有

n(n-3)

2

条对角线．

解答：解：（1）①当n=5时，每支球队与另外4支队伍比赛，共有4×5=20场比赛；
n支球队每支球队与其余队伍比赛n-1场，共有n（n-1）；
②单循环则为

n(n-1)

2

；

（2）①当平面上有2个点时，可以画

2×1

2

=

2×(2-1)

2

条直线；
当平面上有3个点时，可以画

3×2

2

=

3×(3-1)

2

=3条直线；
…
当平面上有n（n≥2）个点时，可以画

n(n-1)

2

条直线；
因此当n=10时，一共可以画（10×9）÷2=45条直线．
②过n边形（n≥3）的一个顶点可以作（n-3）条对角线，
这个n边形共有

n(n-3)

2

条对角线．
故答案为：20，

n(n-1)

2

；45，

n(n-3)

2

．

点评：此题是一道探求规律题，考查了数字的变化类问题，解题的关键是读懂题意，找出规律，并应用得到的规律解决实际问题．