Question

如图：直线y=-x+18分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=2x分别与AB交于C点，与过点A且平行于y轴的直线交于D点．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．
（1）当0＜t＜12时，求S与t之间的函数关系式；
（2）求（1）中S的最大值； 
（3）当t＞0时，若点（10，10）落在正方形PQMN的内部，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先根据题意求得A，B，C，D的坐标，然后过点C作CH⊥AD，易得△CPQ∽△CAD，由相似三角形的性质，即可求得PQ的值，则可求得S与t之间的函数关系式；
（2）配方，即可求得二次函数的最大值，即是S的最大值；
（3）当PQ过点（10，10）时，t最小；当N与（10，10）重合时，t最大，根据题意求解即可．

解答：解：（1）∵直线y=-x+18分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（18，0），B（0，18），
∵直线y=2x与AB交于C点，
∴

y=-x+18 y=2x

，
解得：x=6，y=12，
∴点C（6，12），
∵直线y=2x与过点A且平行于y轴的直线交于D点，
∴D（18，36），
过点C作CH⊥AD，则CH=18-6=12，
∵PQ∥AD，
∴CH⊥PQ，△CPQ∽△CAD，
∴

CG

CH

=

PQ

AD

，
∵PK=t，则CG=12-t，
即：

12-t

12

=

PQ

36

，
∴PQ=36-3t，
∴当0＜t＜12时，求S与t之间的函数关系式为S=t（36-3t）=-3t²+36t；

（2）∵S=-3t²+36t=-3（t-6）²+108，
∴当t=6时，S最大，最大值为108；

（3）当点Q的横坐标是10时，
则Q（10，20），E（10，0），P（10，8），
∴PE=8，PQ=12，
∴PQ=36-3t=12，
解得：t=8；
当N的坐标为（10，10）时，
则点P的纵坐标为10，
∴P（8，10），
∴E（8，0），
∴AE=10；
即t=10；
∴t的取值范围为：8＜t＜10．

点评：此题考查了一次函数的综合应用，考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题时要注意数形结合思想的应用．