Question

5．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点P．
（1）求证：∠BCP=∠CAP；
（2）若PB=$\sqrt{3}$，PC=2$\sqrt{6}$，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，若CM平分∠BCA，CM交⊙O于点M，交AB于点N，求MC的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠PCB+∠OCB=90°，∠A+∠OCB=90°即可解决问题；
（2）只要证明△PCB∽△PAC，可得PC²=PB•PA，求出PA即可解决问题；
（3）由△ACN∽△MCB，可得$\frac{AC}{CM}$=$\frac{AN}{BM}$，求出AC、AN、BM即可解决问题；

解答 解：（1）如图，连接OC、BC．
∵PC是切线，
∴PC⊥OC，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠PCB=∠CAP．

（2）∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PB}{PC}$，
∴PC²=PB•PA，
∵PB=$\sqrt{3}$，PC=2$\sqrt{6}$，
∴PA=8$\sqrt{3}$，
∴AB=PA-PB=7$\sqrt{3}$，
∴⊙O的半径为$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$．

（3）如图，连接OM、BM、作NE⊥AC于E，NF⊥BC于F．
∵△PCB∽△PAC，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{CB}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，易知AC=$\frac{14}{3}$$\sqrt{6}$，BM=$\frac{7\sqrt{6}}{2}$，

∵CM平分∠ACB，
∴NE=NF，OM⊥AB，
∴∠ACM=∠OBM=45°，
∵$\frac{{S}_{△ACN}}{{S}_{△BCN}}$=$\frac{\frac{1}{2}•AC•NE}{\frac{1}{2}•BC•NF}$=$\frac{AN}{NB}$，
∴AN：BN=AC：BC=4：$\sqrt{2}$，
∴AN=8$\sqrt{3}$-2$\sqrt{6}$，
由△ACN∽△MCB，
∴$\frac{AC}{CM}$=$\frac{AN}{BM}$，
∴$\frac{\frac{14}{3}\sqrt{6}}{CM}$=$\frac{8\sqrt{3}-2\sqrt{6}}{\frac{7\sqrt{6}}{2}}$，
∴CM=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$+$\frac{7}{6}$$\sqrt{6}$．

点评 本题考查切线的性质、角平分线的性质、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．