Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF是等腰三角形；④EF＝AP；⑤S四边形AEPF＝S△APC.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，其中正确的序号有________________.

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】∵AB=AC,∠BAC=90°,点P是BC的中点,

∴AP⊥BC,AP=PC,∠EAP=∠C=45°,

∴∠APF+∠CPF=90°,

∵∠EPF是直角,

∴∠APF+∠APE=90°,∴∠APE=∠CPF,故②正确,

在△APE和△CPF中,

,

∴△APE≌△CPF（ASA）,

∴AE=CF,故①正确,∴△EFP是等腰直角三角形,故③正确,

根据等腰直角三角形的性质,EF=PE,

所以,EF随着点E的变化而变化,只有当点E为AB的中点时,EF=PE=AP,

在其它位置时EF≠AP,故④错误,

∵△APE≌△CPF,

∴S△APE=S△CPF,

∴S四边形AEPF=S△APF+S△APE=S△APF+S△CPF=S△APC=S△ABC,故⑤正确,综上所述,故答案为:①②③⑤.