Question

(20分)已知△ABC中，∠A>∠B>∠C，且∠A=2∠B.若三角形的三边长为整数，面积也为整数，求△ABC面积的最小值.

Answer 1

记BC=a，CA=b，AB=c.
如图，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠DAC=∠B，
∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B.

故△ACD△BCA.于是，b/a=CD/b.①
又由角平分线定理知b/c=CD/BD.从而，= =.②
由式①、②得=.
故a²=b(b+c).
若(b，c)=d，则由式①知d|a，故不妨设(b，c)=1.于是，可令
b=m²，b+c=n².则a=mn，c=n²-m².
由∠A>∠B>∠C，知a>b>c，即mn>m²>n²-m².
故m<n<  m.③
又m、n为正整数，从而， m-m>1，即m>  +1.④
设△ABC的面积为S，由海伦公式知
S=n(n+m)(n-m)·.
由式④知m≥3.又由式③容易验证:
当3≤m≤7时，只有m=5时，n=6， =8(有理数)，此时，
S=14×6×11×1×8=132.
下证当m≥8，n≥9时，S>162.
由式③、④知(2m+n)(2m-n)>3m(2m- m)=(6-3)m²>(6-4)m²=(2-)²m²，
n(n+m)(n-m)>n(1+n)×1= (2+ )n².
由式⑤知    S>14×12(2+ 2)n²(2- 2)m=14n²
则当m≥8，n≥9时，有S>162.
故S的最小值为132，此时，m=5，n=6.所以，a=30，b=25，c=11时，△ABC
面积最小，最小值为132.

解析