【题目】如图,ABCD中,E为AD的中点,直线BE、CD相交于点F.连接AF、BD.
(1)求证:AB=DF;
(2)若AB=BD,求证:四边形ABDF是菱形.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)由平行四边形的性质和已知条件得出∠ABE=∠DFE,AE=DE,由AAS证明△ABE≌△DFE即可证得结论;
(2)由全等三角形的性质得出AB=DF,证出四边形ABDF是平行四边形,再由AB=BD,即可得出结论.
(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD.
∵点F在CD的延长线上,
∴FD∥AB.
∴∠ABE=∠DFE.
∵E是AD中点,
∴AE=DE.
在△ABE和△DFE中,
,
∴△ABE≌△DFE(AAS)
∴AB=DF;
(2)∵△ABE≌△DFE,
∴AB=DF.
∵AB∥DF,AB=DF,
∴四边形ABDF是平行四边形.
∵AB=BD,
∴四边形ABDF是菱形.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为r(r>0).给出如下定义:若平面上一点P到圆心O的距离d,满足,则称点P为⊙O的“随心点”.
(1)当⊙O的半径r=2时,A(3,0),B(0,4),C(﹣,2),D(,﹣)中,⊙O的“随心点”是_____;
(2)若点E(4,3)是⊙O的“随心点”,求⊙O的半径r的取值范围;
(3)当⊙O的半径r=2时,直线y=x+b(b≠0)与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在⊙O的“随心点”,直接写出b的取值范围.
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【题目】如图,在中,点F是边BC的中点,连接AF并延长交DC的延长线于点E,连接AC、BE.
(1)求证:AB=CE;
(2)若,则四边形ABEC是什么特殊四边形?请说明理由.
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【题目】如图1,点C、D是线段AB同侧两点,且AC=BD,∠CAB=∠DBA,连接BC,AD交于点 E.
(1)求证:AE=BE;
(2)如图2,△ABF与△ABD关于直线AB对称,连接EF.
①判断四边形ACBF的形状,并说明理由;
②若∠DAB=30°,AE=5,DE=3,求线段EF的长.
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【题目】如图,矩形ABCD,AB=2,BC=10,点E为AD上一点,且AE=AB,点F从点E出发,向终点D运动,速度为1cm/s,以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG,以BG,BF为邻边作BFHG,连接AG.设点F的运动时间为t秒.
(1)试说明:△ABG∽△EBF;
(2)当点H落在直线CD上时,求t 的值;
(3)点F从E运动到D的过程中,直接写出HC的最小值.
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【题目】抛物线的对称轴为直线,该抛物线与轴的两个交点分别为和,与轴的交点为,其中.
(1)写出点的坐标________;
(2)若抛物线上存在一点,使得的面积是的面积的倍,求点的坐标;
(3)点是线段上一点,过点作轴的垂线交抛物线于点,求线段长度的最大值.
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【题目】长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材,甲品牌有A、B、C三种型号,乙品牌有D、E两种型号,现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠.
(1)下列事件是不可能事件的是
A.选购甲品牌的B型号;
B.选购甲品牌的C型号和乙品牌的D型号;
C.既选购甲品牌也选购乙品牌;
D.只选购乙品牌的E型号.
(2)用列表法或树状图法,写出所有的选购方案,若每种方案被选中的可能性相同,求A型号的器材被选中的概率?
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【题目】如图所示的曲边三角形可按下述方法作出:作等边三角形;分别以点,,为圆心,以的长为半径作,,.三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形,如果一个曲边三角形的周长为,那么这个曲边三角形的面积是___________.
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