【题目】如图,抛物线与轴相交于,两点,与轴相交于点,连接,已知,抛物线的对称轴交轴于点.
备用图
(1)求该抛物线的解析式;
(2)连接,能否在抛物线上找到一点,使得,若有求点的坐标,若没有说明理由;
(3)若点为上方抛物线上一动点,过点作轴交于点,过点作,垂足为,当的周长最大时,求点的坐标.
【答案】(1);(2)和;(3)
【解析】
(1)由抛物线解析式可知点C坐标,由可知OB长,易得点B坐标,将点B坐标代入抛物线解析式可得该抛物线的解析式;
(2)分2种情况讨论,①若,过点作,交于点,过点作轴于点,由作图可得利用相似三角形对应线段成比例的性质及勾股定理可得点Q坐标,求出直线CQ的解析式,代入抛物线解析式易得点M坐标;②若,延长交于点,过点作轴于点,根据等边三角形三线合一,,则,利用全等三角形的性质可得点H坐标,求出直线CH的解析式代入抛物线解析式可求得点M坐标;
(3)由题意可知,易知,当的周长最大只需最大即可,求出所在直线的解析式,设,则,可表示出,易知当时,最大,即的周长最大,把代入即可求出点P坐标.
解:(1)抛物线与轴相交于点,
点的坐标为,,
,点的坐标为
把代入得:
该抛物线的解析式为:
(2)如图,若,过点作,交于点,过点作轴于点
抛物线的对称轴交轴于点
由作图可得:
设,则
在中,
在中,
,得
,可得:
,
所在直线的解析式为:
把代入解得:
(舍去),
把代入
得:
另一种情况:如图,若,延长交于点,过点作轴于点,根据等边三角形三线合一,,
则
,
,,
所在直线的解析式为:
把代入解得:
(舍去),
把代入得:
综上所述,满足条件的点有两个,分别为:
和
(3)过点作轴交于点,过点作,垂足为,
在中,,,所以
的周长最大只需最大即可,
,
所在直线的解析式为:
点为上方抛物线上一动点,点在上,且轴
设,则
当时,最大,即的周长最大,
把代入得:
即当的周长最大时,点的坐标为.
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【题目】如图所示,直线与坐标轴交于点,与抛物线交于点,点的坐标是.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点是线段上(不与重合)的一个动点,过点作轴,交抛物线于点,过点作,交直线于点,以为边作矩形,请求出矩形周长的最大值;
(3)若点在轴正半轴上,当恰好是等腰三角形时,请直接写出点的坐标.
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【题目】随着国内疫情基本得到控制,旅游业也慢慢复苏,经市场调研发现旅游景点未来天内,旅游人数与时间的关系如下表;每张门票与时间之间存在如下图所示的一次函数关系.(,且为整数)
时间(天) | |||||
人数(人) |
<>
请结合上述信息解决下列问题:
(1)直接写出:关于的函数关系式是 .与时间函数关系式是 .
(2)请预测未来天中哪一天的门票收入最多,最多是多少?
(3)为支援武汉抗疫,该旅游景点决定从每天获得的门票收入中拿出元捐赠给武汉红十字会,求捐款后共有几天每天剩余门票收入不低于元?
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【题目】已知,如图,点P是平行四边形ABCD外一点,PE∥AB交BC于点E.PA、PD分别交BC于点M、N,点M是BE的中点.
(1)求证:CN=EN;
(2)若平行四边形ABCD的面积为12,求△PMN的面积.
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【题目】如图,在⊙O中,半径OA⊥OB,过OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点,且CD=,以O为圆心,OC为半径作,交OB于E点.则图中阴影部分的面积为______________.
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【题目】随着互联网的高速发展,人们的支付方式发生了巨大改变,某学习小组抽样调查了春节期间某商场顾客的支付方式,主要有现金支付、银联卡支付和手机支付,调查得知使用这三种支付的人数比为,手机支付已成为市民购物便捷支付方式.手机支付主要有以下三种方式:~支付宝,~微信,~其他.现将使用手机支付方式人数的调查结果绘制成如下不完整的统计图.
(1)扇形统计图中,________;请补全条形统计图;
(2)若该商场春节期间共20000人购物,请估计用支付宝进行支付的人数.
(3)经调查某天顾客现金支付、银联卡支付、手机支付每笔交易发生的平均金额分别为120元、260元、80元,求这天顾客每笔交易的平均金额.
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【题目】某市在开展线上教学活动期间,为更好地组织初中学生居家体育锻炼,随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查(每人必须且只选其中一项),得到如下两幅不完整的统计图表,请根据图表信息回答下列问题:
类别 | 项 目 | 人数 |
A | 跳绳 | 59 |
B | 健身操 | ▲ |
C | 俯卧撑 | 31 |
D | 开合跳 | ▲ |
E | 其它 | 22 |
(1)求参与问卷调查的学生总人数.
(2)在参与问卷调查的学生中,最喜爱“开合跳”的学生有多少人?
(3)该市共有初中学生约8000人,估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数.
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【题目】如图,已知在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE,DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线,AE的延长线与DF相交于点G,则下列结论:①AG⊥DF;②EF∥AB;③AB=AF;④AB=2EF.其中正确的结论是( )
A.①②B.③④C.①②③D.①②③④
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【题目】水城门位于淀浦河和漕港河三叉口,是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观.在课外实践活动中,某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高.他们的操作方法如下:如图,先在D处测得点A的仰角为20°,再往水城门的方向前进13米至C处,测得点A的仰角为31°(点D、C、B在一直线上),求该水城门AB的高.(精确到0.1米)
(参考数据:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
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