Question

5月份，某品牌衬衣正式上市销售．5月1日的销售量为10件，5月2日的销售量为35件，以后每天的销售量比前一天多25件，直到日销售量达到最大后，销售量开始逐日下降，至此，每天的销售量比前一天少15件，直到5月31日销售量为0．设该品牌衬衣的日销量为p（件），销售日期为n（日），p与n之间的关系如图所示．
（1）写出p关于n的函数关系式p=

 

（注明n的取值范围）；
（2）经研究表明，该品牌衬衣的日销量超过150件的时间为该品牌衬衣的流行期．请问：该品牌衬衣本月在市面的流行期是多少天？
（3）该品牌衬衣本月共销售了

 

件．

Answer 1

分析：（1）因为5月1日的销售量为10件，5月2日的销售量为35件，以后每天的销售量比前一天多25件，直到日销售量达到最大后，销售量开始逐日下降，至此，每天的销售量比前一天少15件，直到5月31日销售量为0，所以p=

25n-15(1≤n≤12，且n为整数) -15n+465(12＜n≤31，且n为整数)

（2）分1≤n≤12时和12＜n≤31两种情况列出不等式，分别求出n的取值范围即可；
（3）以12日为界，前后是两个等差数列 当 1≤n≤12时，首项a₁=10，末项a₁₂=285，项数 k₁=12 所以 和 s₁=（10+285）×

12

2

=1770 当 12＜n≤31时，首项a₁₃=270，末项a₃₁=0，项数 k₂=19 所以 和 s₁=270×

19

2

=2565，再求出其和即可．

解答：解：（1）此题的关键是销售量转折点日期的确定，设5月x日是最后一天销售量增加的日期，据题意，
有10+25（x-1）=15（31-x），解得 x=12，
因此（1）10+25（n-1），1≤n≤12；
p=15（31-n），12＜n≤31．
故p=

25n-15(1≤n≤12，且n为整数) -15n+465(12＜n≤31，且n为整数)

；

（2）当1≤n≤12时，若 10+25（n-1）＞150解得 n＞

33

5

，
考虑实际日期，应从7日起算，此段时间流行期为12-7+1=6天，
当12＜n≤31时，15（31-n）＞150，解得 n＜21，
故此段流行期为20-12=8天 因此，本月流行期为 6+8=14天；

（3）以12日为界，前后是两个等差数列
当1≤n≤12时，首项a₁=10，末项a₁₂=285，项数k₁=12，所以和s₁=（10+285）×

12

2

=1770
当12＜n≤31时，首项a₁₃=270，末项a₃₁=0，项数 k₂=19 所以和s₁=270×

19

2

=2565，
所以本月共销售了1770+2565=4335件．

点评：本题需仔细观察图象，利用分段函数解决问题．