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9.在矩形ABCD中,DC=4$\sqrt{3}$,CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F,连接BF.
(1)求证:△DEC∽△FDC;
(2)当F为AD的中点时,求BC的长度.

分析 (1)根据矩形的性质、同角的余角相等得到∠CDE=∠DFE,得到答案;
(2)根据DF∥BC,得到$\frac{EF}{EC}$=$\frac{DF}{BC}$=$\frac{1}{2}$,根据相似三角形的性质得到CE•CF=CD2=48,求出CF,根据勾股定理计算即可.

解答 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠FDC=90°,
∴∠FDE+∠CDE=90°,
∵CF⊥BD,
∴∠FDE+∠DFE=90°,
∴∠CDE=∠DFE,又∴∠DEC=∠CDF=90°,
∴△DEC∽△FDC;
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴DF∥BC,
∴$\frac{EF}{EC}$=$\frac{DF}{BC}$=$\frac{1}{2}$,即CE=$\frac{2}{3}$CF,
∵△DEC∽△FDC,
∴CE•CF=CD2=48,
∴$\frac{2}{3}$CF2=48,解得CF=6$\sqrt{2}$
∴DF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{6}$,
∴BC=AD=2DF=4$\sqrt{6}$.

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

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$\sqrt{9}-{(-2)^2}-|{1-\sqrt{2}}|-\root{3}{-8}$
解:原式=$3-{(-2)^2}-|{1-\sqrt{2}}|-\root{3}{-8}$①
=$3-4-|{1-\sqrt{2}}|-\root{3}{-8}$②
=3-4-$\sqrt{2}-1-\root{3}{-8}$③
=3-4-$\sqrt{2}$-1+2④
=-$\sqrt{2}$.
A.B.C.D.

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∴∠1=∠2(等量代换).

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