Question

【题目】如图 1,A（-2,0）,B（0,4）,以 B 点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．

（1）求 C 点的坐标；

（2）在坐标平面内是否存在一点 P,使△PAB 与△ABC 全等?若存在,直接写出 P 点坐标,若不存在,请说明理由；

（3）如图 2,点 E 为 y 轴正半轴上一动点, 以 E 为直角顶点作等腰直角△AEM,过 M 作 MN⊥x 轴于 N,求 OE-MN 的值．

Answer 1

【答案】（1）C（-4，6）；（2）存在一点P，使△PAB与△ABC全等，符合条件的P的坐标是（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）；（3）2．

【解析】

（1））作CE⊥y轴于E，证△CEB≌△BOA，推出CE=OB=4，BE=AO=2，即可得出答案；
（2）分为四种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案；
（3）作MF⊥y轴于F，证△EFM≌△AOE，求出EF，即可得出答案．

解：（1）作CE⊥y轴于E，如图1，

∵A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵∠CBA=90°，
∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，
∴∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°，
∴∠ECB=∠ABO，
在△CBE和△BAO中

∴△CBE≌△BAO，
∴CE=BO=4，BE=AO=2，
即OE=2+4=6，
∴C（-4，6）．
（2）存在一点P，使△PAB与△ABC全等，

分为四种情况：①如图2，当P和C重合时，△PAB和△ABC全等，即此时P的坐标是（-4，6）；

②如图3，过P作PE⊥x轴于E，
则∠PAB=∠AOB=∠PEA=90°，
∴∠EPA+∠PAE=90°，∠PAE+∠BAO=90°，
∴∠EPA=∠BAO，
在△PEA和△AOB中

∴△PEA≌△AOB，
∴PE=AO=2，EA=BO=4，
∴OE=2+4=6，
即P的坐标是（-6，2）；

③如图4，过C作CM⊥x轴于M，过P作PE⊥x轴于E，
则∠CMA=∠PEA=90°，
∵△CBA≌△PBA，
∴∠PAB=∠CAB=45°，AC=AP，
∴∠CAP=90°，
∴∠MCA+∠CAM=90°，∠CAM+∠PAE=90°，
∴∠MCA=∠PAE，
在△CMA和△AEP中

∴△CMA≌△AEP，
∴PE=AM，CM=AE，
∵C（-4，6），A（-2，0），
∴PE=4-2=2，OE=AE-A0=6-2=4，
即P的坐标是（4，2）；

④如图5，过P作PE⊥x轴于E，
∵△CBA≌△PAB，
∴AB=AP，∠CBA=∠BAP=90°，
则∠AEP=∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠PAE=90°，∠PAE+∠APE=90°，
∴∠BAO=∠APE，
在△AOB和△PEA中

∴△AOB≌△PEA，
∴PE=AO=2，AE=OB=4，
∴0E=AE-AO=4-2=2，
即P的坐标是（2，-2），
综合上述：符合条件的P的坐标是（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）．

（3）如图6，作MF⊥y轴于F，
则∠AEM=∠EFM=∠AOE=90°，
∵∠AEO+∠MEF=90°，∠MEF+∠EMF=90°，
∴∠AEO=∠EMF，
在△AOE和△EMF中
∵

∴△AEO≌△EMF（AAS），
∴EF=AO=2，MF=OE，
∵MN⊥x轴，MF⊥y轴，
∴∠MFO=∠FON=∠MNO=90°，
∴四边形FONM是矩形，
∴MN=OF，
∴OE-MN=OE-OF=EF=OA=2．

故答案为：（1）C（-4，6）；（2）存在一点P，使△PAB与△ABC全等，符合条件的P的坐标是（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）；（3）2．