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    8．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
    （1）如图①，当点E从D向C，点F从C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置和数量关系，并说明理由；
    （2）如图②和图③，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线及反向延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“成立”或“不成立”，不需证明）
    （3）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，因此CP的大小也在变化．如果AD=2，试求出线段CP的最小值．

    分析 （1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
    （2）AE=DF，AE⊥DF．根据四边形ABCD是正方形，于是得到AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，根据全等三角形的判定推出△ADE≌△DCF，求得AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，于是得到结论；
    （3）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．

    解答 解：（1）AE=DF，AE⊥DF．
    理由：∵四边形ABCD是正方形，
    ∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．
    在△ADE和△DCF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADC=∠C}\\{DE=CF}\\{\;}\end{array}\right.$，
    ∴△ADE≌△DCF（SAS）．
    ∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
    由于∠CDF+∠ADF=90°，
    ∴∠DAE+∠ADF=90°．
    ∴AE⊥DF；

    （2）图②，AE=DF，AE⊥DF．
    同（1）证明△ADE≌△DCF，
    ∴AE=DF，AE⊥DF．
    图③，AE=DF，AE⊥DF．
    理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF
    延长FD交AE于点G，
    则∠CDF+∠ADG=90°，
    ∴∠ADG+∠DAE=90°．
    ∴AE⊥DF；

    （3）如图④
    由于点P在运动中保持∠APD=90°，
    ∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
    设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
    在Rt△QDC中，QC=$\sqrt{C{D}^{2}+Q{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
    ∴CP=QC-QP=$\sqrt{5}-1$．

    点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大．

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