Question

将一副直角三角板DEF按如图1摆放，使直角顶点D落在等腰Rt△ABC的斜边BC的中点上，DF，DE分别与AB，AC交于点M，N；
（1）如果把图1中的△DCN绕点D顺时方向旋转180°，得到图2，在不添加任何辅助线的情况下，图2中除△DCN≌△DBG外，你还能找到一对全等的三角形吗？写出你的结论并说明理由；
（2）将三角板DEF绕点D旋转，①当M，N分别在AB，AC上时，线段BM，CN，MN之间有一个确定的等量关系．请你写出这个关系式（不需证明）；
②如图3，当点M，N分别在BA，AC的延长线上时，①的关系式是否仍然成立？写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

（1）解：答案不唯一，如△MGD≌△MND；
证明：∵△DCN绕点D顺时方向旋转180°得到△DBG，
∴△DCN≌△DBG，G、D、N三点共线，
∴DN=DG，
在△MGD和△MND中，
MD=MD，∠MDG=∠MDN=90°，DN=DG，
∴△MGD≌△MND（SAS）．

（2）解：①BM²+CN²=MN²；
②：①的关系式仍然成立；
将△DCN绕点D顺时方向旋转180°，连接GM，
∴△DCN≌△DBG，
∴∠DCN=∠DBG，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACD=45°，
∴∠DCN=∠DBG=135°，
∠ABG=∠DBG-∠ABC=90°，
同理可证△MGD≌△MND，
∴GM=MN，
在Rt△GBM中：BG²+BM²=GM²，
∴BM²+CN²=MN²．
分析：（1）应找较简单的，易得到结论的两个三角形，比如△MGD≌△MND，可利用边角边证其全等；
（2）①应利用题中已知的，和（1）中求得的两个三角形全等，得到CN=BG，MN=MG，易得∠MBG=∠ABD+∠CBG=90°，那么可得所求三边的关系；
②按照前面的方法构造同样的三角形全等把所求的三条线段进行转移，方法同①．
点评：此题把旋转的性质、全等三角形的判定和勾股定理结合求解．综合性强，难度大．考查了学生综合运用数学知识的能力．注意找全等应找容易求得全等的三角形，应用类比的方法求解复杂问题．