Question

13．如图，在⊙O中，AD、BC相交于点E，OE平分∠AEC．
（1）求证：AB=CD；
（2）如果⊙O的半径为3，AD⊥CB，DE=1，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）作OM⊥AD于M，ON⊥BC于N，连结OA、OB，如图，由垂径定理得到AM=DM，BN=CN，由勾股定理得AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$，CN=$\sqrt{O{C}^{2}-O{N}^{2}}$，再利用角平分线性质得OM=ON，则AM=CN，所以AD=BC，根据圆心角、弧、弦的关系得到$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，则$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，于是有AB=CD；
（2）先证明△MEO为等腰直角三角形得到OM=EM，设ME=x，则OM=x，DM=ME+DE=x+1，则AM=DM=x+1，在Rt△AOM中利用勾股定理得x²+（x+1）²=3²，然后解方程求出x后计算2（x+1）即可得到AD的长．

解答 （1）证明：作OM⊥AD于M，ON⊥BC于N，连结OA、OB，如图，则AM=DM，BN=CN，
在Rt△OAM中，AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$，
在Rt△OCN中，CN=$\sqrt{O{C}^{2}-O{N}^{2}}$，
∵OE平分∠AEC，
∴OM=ON，
而OA=OC，
∴AM=CN，
∴AD=BC，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，即$\widehat{AB}$+$\widehat{BD}$=$\widehat{BD}$+$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴AB=CD；
（2）解：∵AD⊥CB，
∴∠MEN=90°，
∵OE平分∠MEN，
∴∠MEO=45°，
∴△MEO为等腰直角三角形，
∴OM=EM，
设ME=x，则OM=x，DM=ME+DE=x+1，
∴AM=DM=x+1，
在Rt△AOM中，∵OM²+AM²=OA²，
∴x²+（x+1）²=3²，解得x₁=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$（舍去），
∴AD=2AM=2（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$+1）=2$\sqrt{17}$+1．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了勾股定理和垂径定理．