Question

11．如图，将图1的正方形纸片沿对角线剪开，得到图2的两张三角形纸片，再将三角形纸片摆成图3所示的图形，使得点B（E）重合．
（1）求证：△ABD≌△CBF；
（2）猜测AD与CF的位置关系，并说明理由；
（3）若∠ABF=120°，请判断△BGH的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由剪图得出条件，得出∠ABD=∠CBF，即可判断出结论；
（2）由（1）得出结论判断出，∠BAD=∠BCF，再用等量代换即可判断出结论；
（3）先由（1）判断出，∠BAD=∠BFC，进而判断出△ABG≌△FBH，即可得出，△BGH是等腰三角形，即可得出结论．

解答 解：（1）由剪图知道，AB=BC=DE=EF，∠ABC=DEF=90°，
∴∠ABD=∠CBF，
在△ABD和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBF}\\{BD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBF，
（2）AD⊥CF，
理由：∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
由（1）知，△ABD≌△CBF，
∴∠BAD=∠BCF，
∴∠CAD+∠ACF=∠CAD+∠ACB+∠BCF=∠CAD+∠ACB+∠BAD=45°+45°=90°，
∴∠APC=90°，
∴AD⊥CF，
（3）△BGH是等边三角形，
理由：由（1）知，△ABD≌△CBF，
∴∠BAD=∠BCF，
∵BC=BF，
∴∠BCF=∠BFC，
∴∠BAD=∠BFC，
在△ABG和△FBH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠BFC}\\{AB=BF}\\{∠ABG=∠FBH}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△FBH，
∴BG=BH，
∴△BGH是等腰三角形，
∵∠ABF+∠ABC+∠DBF+∠HBG=360°，
∴∠HBG=60°，
∴△BGH是等边三角形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解本题的关键是△ABD≌△CBF，是一道比较简单的中考常考题．