Question

13．如图，平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于E，连接DE，F为DE中点，且∠BAE=∠DEC，∠B=60°．
（1）判断△AEF的形状并说明理由．
（2）若AB=2，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）证出∠AED=60°，由直角三角形的性质证出AF=EF，即可得出结论；
（2）由直角三角形的性质和勾股定理求出AE，再由直角三角形的性质即可得出答案．

解答 解：（1）△AEF是等边三角形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵∠BAE=∠DEC，
∴∠BAE=∠ADE，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，∠BAE=∠ADE=90°-∠B=30°，
∴∠DAE=90°，
∴∠AED=60°，
∵F为DE中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$DE=EF，
∴△AEF是等边三角形；
（2）∵AB=2，AE⊥BC，∠BAE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴AE=$\sqrt{3}$BE=$\sqrt{3}$，
∵∠DAE=90°，∠ADE=30°，
∴DE=2AE=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键．