Question

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交 y轴与A点，交x轴与B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，－5）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明．
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（１）∵抛物线的顶点为（3，4），∴可设此抛物线的解析式为：。
∵此抛物线过点A（0，－5），∴，解得。
∴此抛物线的解析式为：，即。
（２）此时抛物线的对称轴与⊙C相离。证明如下：
令，即，得ｘ=1或ｘ=5，
∴B（1，0）,C（5，0）。
令ｘ=1，得，∴A（0，－5）。
如图，过点C作CE⊥BD于点E，作抛物线的对称轴交ｘ轴于点F，

∵AB⊥BD，∴∠ABO=90⁰－∠ABO=∠CBE。
∵∠AOB=∠BEC=90⁰，∴△AOB∽△BEC。
∴。
又∵OB=1，OA=5，∴根据勾股定理，得。
又∵BC=4，∴，即。
∵CF=2，∴，即。
∴抛物线的对称轴与⊙C相离。
（3）存在。
假设存在满足条件的点，
∵点在抛物线上，∴。
又，
，
。
①当∠A=90⁰时，在中，由勾股定理，得 ，
∴，整理，得。
∴，解得或，∴或。
∴点P为（7，－12）或（0，－5）（舍去）。
②当∠C=90⁰时，在中，由勾股定理，得，
∴，整理，得。
∴，解得或，∴或。
∴点P为（2，3）或（5，0）（舍去）。
综上所述，满足条件的点P的坐标为（7，－12）或（2，3）。

（1）由于已知抛物线的顶点为（3，4），故应用待定系数法，设顶点式求解。
（2）过点C作CE⊥BD于点E，应用△AOB∽△BEC求得CE的长，与点C到抛物线的对称轴的距离比较即可。
（3）用点P的横坐标表示三边的长，分∠A=90⁰和∠C=90⁰两种情况讨论即可。