Question

如图，已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC上一点，下列条件：
①∠APB=∠EPC；②∠APE=90°；③BP=CP；④BP=2CP．
其中能推出△ABP与△ECP相似的是

①②④

（填序号）．

Answer 1

分析：由四边形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，则可得当①∠APB=∠EPC，根据有两角对应相等的三角形相似，证得△ABP与△ECP相似；
当②∠APE=90°，可得∠APB=∠PEC，继而可得△ABP与△ECP相似；
当④BP=2CP，可得AB：CE=BP：CP=2：1，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判定△ABP与△ECP相似．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵E是CD的中点，
∴EC=

1

2

CD，
①若∠APB=∠EPC，
则△ABP∽△ECP；
②若∠APE=90°，
则∠APB+∠EPC=90°，
∵∠EPC+∠PEC=90°，
∴∠APB=∠PEC，
∴△ABP∽△PCE，
③若BP=CP，
则BP=CP=CE，
∴此时不相似；
④若BP=2CP，
则AB：CE=BP：CP=2：1，
∴△ABP∽△ECP．
故答案为：①②④．

点评：此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．