Question

【题目】如图，⊙O的直径为10，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

（1）求证：ACCD=PCBC；

（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵CD⊥CP，

∴∠PCD=90°，

∴∠ACB=∠PCD，

∵∠A与∠P是对的圆周角，

∴∠A=∠P，

∴△ABC∽△PDC，

∴，

∴ACCD=PCBC；

（2）解：当点P运动到的中点时，过点B作BE⊥PC于E，

∵BC：CA=4：3，AB=10，

∴BC=8，AC=6，

∵点P是的中点，

∴∠PCB=∠ACB=45°，

∴BE=CE=BCsin45°=8×=4，

在Rt△EPB中，tan∠P=tan∠A===，

∴PE=BE=3，

∴PC=PE+CE=7，

∴CD=PCtan∠P=×7=．