【题目】在平面直角坐标系中,O为原点,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,现将正方形OABC绕点O顺时针旋转.
(1)如图①,当点A的对应的A′落在直线y=x上时,点A′的对应坐标为;点B的对应点B′的坐标为;
(2)旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N,当A点第一次落在直线y=x上时,停止旋转.
①如图2,在正方形OABC旋转过程中,线段AM,MN,NC三者满足什么样的数量关系?请说明理由;
②当AC∥MN时,求△MBN内切圆的半径(直接写出结果即可)
【答案】
(1)A′( ,
),B′(2
,0)
(2)解:①结论:AM+CN=MN;
理由:延长BA交y轴于E点,
则∠AOE=45°﹣∠AOM,∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM,
∴∠AOE=∠CON,
又∵OA=OC,∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN,
在△OAE和△OCN中,
,
∴△OAE≌△OCN(ASA),
∴OE=ON,AE=CN,
在△OME和△OMN中
,
∴△OME≌△OMN(SAS).
∴MN=ME=AM+AE.
∴MN=AM+CN,
②∵MN∥AC,
∴∠BMN=∠BAC=45°,∠BNM=∠BCA=45°,
∴∠BMN=∠BNM,
∴BM=BN,∵BA=BC,
∴AM=NC,
设AM=NC=a,则MN=2a,
在Rt△BMN中,(2a)2=(2﹣a)2+(2﹣a)2,
解得a=2 ﹣2或﹣2
﹣2(舍弃),
∴MN=4 ﹣4,BM=BN=4﹣2
,
∴△BMN的内切圆半径r= =
=6﹣4
【解析】解:(1)如图1中,作A′H⊥OB′于H.
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OC=BC=AB=2,∠BOC=45°=45,OB=2 ,
∵OA′=2,
∴AH=OH= ,
∴A′( ,
),
∵旋转角为45°,
∴B′在x轴上,
∴B′(2 ,0),
所以答案是A′( ,
),B′(2
,0);
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【题目】下面是由同一型号的黑白两种颜色的等边三角形瓷砖按一定规律铺设的图形.仔细观察图形可知:
第1个图形中有1块黑色的瓷砖,可表示为;
第2个图形中有3块黑色的瓷砖,可表示为;
第3个图形中有6块黑色的瓷砖,可表示为;
则第个图形中有__________块黑色的瓷砖(
为正整数).
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【题目】解不等式组: 请结合题意填空,完成本题的解答:
(i)解不等式(1),得;
(ii)解不等式(2),得;
(iii)把不等式(1)和(2)的解集在数轴上表示出来:
(iv)原不等式的解集为: .
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【题目】某汽车专卖店销售A,B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B型车,销售额为96万元;本周已售2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元.
(1)求每辆A型车和B型车的售价各多少万元.
(2)甲公司拟向该店购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,购车费不少于130万元,且不超过140万元. 则有哪几种购车方案?
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【题目】如图,在边长为8的正方形ABCD中,点O为AD上一动点(4<OA<8),以O为圆心,OA的长为半径的圆交边CD于点M,连接OM,过点M作⊙O的切线交边BC于N.
(1)求证:△ODM∽△MCN;
(2)设DM=x,OA=R,求R关于x的函数关系式;
(3)在动点O逐渐向点D运动(OA逐渐增大)的过程中,△CMN的周长如何变化?说明理由.
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【题目】已知动点以每秒
的速度沿如图甲所示的边框按从
的路径移动,其中
,相应的
的面积
关于时间
的函数图象如图乙所示,若
,试回答下列问题:
(1)如图甲_______
;
________
.
(2)如图乙,图中的________,
_______.
(3)在上述运动过程中,面积的最大值是________
.
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【题目】如图,我们把杜甫(绝句)整齐排列放在平面直角坐标系中:
(1)“东”、“窗”和“柳”的坐标依次是:______、______和________.;
(2)将第1行与第3行对调,再将第4列与第6列对调,“里”由开始的坐标________依次变换到:________和________;
(3)“门”开始的坐标是(1,1),使它的坐标到(3,2),应该哪两行对调,同时哪两列对调?
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【题目】如果两个三角形的两条边对应相等,夹角互补,那么这两个三角形叫做互补三角形,如图2,分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF,则图中的两个三角形就是互补三角形.
(1)用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形;
(2)证明图2中的△ABC与△AEF两个互补三角形面积相等;
(3)如图3,在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI.
①已知三个正方形面积分别是17、13、10,在如图4的网格中(网格中每个小正方形的边长为1)画出边长为 、
、
的三角形,并计算图3中六边形DEFGHI的面积.
②若△ABC的面积为2,求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积.
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【题目】某公司招聘职员两名,对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试,各项成绩满分均为100分,然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综合成绩(满分为100分).
他们的各项成绩如下表所示:
候选人 | 笔试成绩/分 | 面试成绩/分 |
甲 | 90 | 88 |
乙 | 84 | 92 |
丙 | x | 90 |
丁 | 88 | 86 |
(1)直接写出这四名候选人面试成绩的中位数;
(2)现得知候选人丙的综合成绩为87.6分,求表中x的值;
(3)求出其余三名候选人的综合成绩,并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选.
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