Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为原点，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，现将正方形OABC绕点O顺时针旋转．

（1）如图①，当点A的对应的A′落在直线y=x上时，点A′的对应坐标为；点B的对应点B′的坐标为；
（2）旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N，当A点第一次落在直线y=x上时，停止旋转．
①如图2，在正方形OABC旋转过程中，线段AM，MN，NC三者满足什么样的数量关系？请说明理由；
②当AC∥MN时，求△MBN内切圆的半径（直接写出结果即可）

Answer 1

【答案】
（1）A′（ , ）,B′（2 ,0）
（2）解：①结论：AM+CN=MN；

理由：延长BA交y轴于E点，

则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM，

∴∠AOE=∠CON，

又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN，

在△OAE和△OCN中，

，

∴△OAE≌△OCN（ASA），

∴OE=ON，AE=CN，

在△OME和△OMN中

，

∴△OME≌△OMN（SAS）．

∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，

②∵MN∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，

∴∠BMN=∠BNM，

∴BM=BN，∵BA=BC，

∴AM=NC，

设AM=NC=a，则MN=2a，

在Rt△BMN中，（2a）2=（2﹣a）2+（2﹣a）2，

解得a=2 ﹣2或﹣2 ﹣2（舍弃），

∴MN=4 ﹣4，BM=BN=4﹣2 ，

∴△BMN的内切圆半径r= = =6﹣4

【解析】解：（1）如图1中，作A′H⊥OB′于H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OC=BC=AB=2，∠BOC=45°=45，OB=2 ，

∵OA′=2，

∴AH=OH= ，

∴A′（ ， ），

∵旋转角为45°，

∴B′在x轴上，

∴B′（2 ，0），

所以答案是A′（ ， ），B′（2 ，0）；