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    等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，
    ①当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．
    ②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明．
    ③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．

    解①BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN．

    ②猜想：结论仍然成立．
    证明：在CN的反向延长线上截取CM1=BM，连接DM1．
    ∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，
    ∴△DBM≌△DCM1，
    ∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM，
    ∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
    ∴∠M1DN=∠MDN=60°，
    ∴△MDN≌△M1DN，
    ∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，

    ③证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1．
    可证△DBM≌△DCM1，
    ∴DM=DM1，
    可证∠CDN=∠MDN=60°，
    ∴△MDN≌△M1DN，
    ∴MN=M1N，
    ∴NC-BM=MN．
    分析：①由DM=DN，∠MDN=60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD=BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN；
    ②在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；
    ③首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC-BM=MN．
    点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读材料：
    如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ARP+S△ACP=S△ABC，即：
    1
    2
    AB•r1+
    1
    2
    AC•r2=
    1
    2
    AC•h，∴r1+r2=h（定值）．
    （1）理解与应用：
    如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长．
    （2）类比与推理：
    如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：
    已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．
    （3）拓展与延伸：
    若正n边形A1A2…An，内部任意一点P到各边的距离为r1r2…rn，请问r1+r2+…+rn是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，等边△ABC的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是
    		BC
    的中点．
    （1）试判断过点C所作⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；
    （2）设直线CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△BDE的面积．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•白云区一模）如图，
    AD
    是以边长为6的等边△ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为
    AD
    上一动点，当BP经过弦AD的中点E时，四边形ACBE的周长为
    12+6
    		2
    12+6
    		2
    ．（结果用根号表示）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：三角形ABC三边a、b、c满足a2=b2+c2-bc，b2=a2+c2-ac，c2=a2+b2-ab，
    （1）求证：△ABC是等边三角形；
    （2）若等边△ABC的面积为4，其内心为O1，连接BO1，以BO1为边作等边△BO1B1，记等边△BO1B1的面积S1，取△BO1B1的内心O2，连BO2，以BO2为边作等边△BO2B2，记等边△BO2B2的面积为S2，依次作等边三角形…记△BO2010B2010的面积为S2010，求S1、S2及S2010的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为
    12cm2
    12cm2
    ．

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