Question

如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，已知DE：AC=5：13，则sin∠CAB=

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：数形结合

分析：根据题意易得△DEF与△ACF是等腰三角形，且相似，根据相似三角形的对应边成比例，可得DF：AF=5：13，即可设DF=5x，则AF=13x，然后利用勾股定理，即可求得AC，AB，BC的长，继而求得答案．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠B=∠AEC=∠ADC=90°，AB=CD=AE，∠EAC=∠BAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DCA=∠EAC，
∴FA=CF，
∵AE=CD，
∴DF=EF，
∴

EF

FC

=

DF

AF

，
∵∠DFE=∠AFC，
∴△DEF∽△ACF，
∴

DF

AF

=

DE

AC

=

5

13

，
设DF=5x，则AF=13x，
∴AD=

AF2-DF2

=12x，AB=AE=AF+EF=AF+DF=18x，
∴BC=12x，
∴AC=

AB2+BC2

=6

13

x，
∴sin∠CAB=

BC

AC

=

12x

6 13 x

=

2 13

13

．
故答案为：

2 13

13

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．