Question

17．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO=8，BC=12．
（1）求线段OD的长；
（2）当EO=$\sqrt{2}$BE时，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，先根据垂径定理得出OD⊥BC，BD=$\frac{1}{2}$BC，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可得出结论；
（2）在Rt△EOD中，设BE=x，则OE=$\sqrt{2}$x，DE=6-x，再根据勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）连接OB．
∵OD过圆心，且D是弦BC中点，
∴OD⊥BC，BD=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△BOD中，OD²+BD²=BO²．
∵BO=AO=8，BD=6．
∴OD=2$\sqrt{7}$；

（2）在Rt△EOD中，OD²+ED²=EO²．
设BE=x，则OE=$\sqrt{2}$x，DE=6-x．
（2$\sqrt{7}$）²+（6-x）²=（$\sqrt{2}$x）²，
解得x₁=-16（舍），x₂=4．
则DE=2．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．