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    18．如图，直线y=-x+3与抛物线y=-x2+bx+c交于B、C两点，点B、C分别在x轴、y轴上，点A是抛物线与x轴的另一个交点且在点B的左侧，抛物线的对称轴直线l与x轴交于点D．
    （1）求抛物线解析式；
    （2）若直线BC上方的抛物线上有一动点P，是否存在某一位置，使得点P到直线BC的距离最大，如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）作点A关于直线BC的对称点A'，点E是x轴下方对称轴l上一点，连接A'E、A'B，若DE=2$\sqrt{2}$-2，求∠AEB的度数．
    （4）在（3）的条件下，计算tan∠BA′E的值．

    分析 （1）先求出点B，C坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
    （2）先判断出点P到直线BC的距离最大时的位置就是直线MN，直线MN平行于BC且和抛物线只有一个交点就是点P，设出直线MN用一元二次方程的根的判别式求出直线MN解析式中的b，即可求出点P坐标；
    （3）先判断出点A和A'的连线与直线BC的交点F也在抛物线对称轴上，即：F（1，2），根据坐标求出线段即可判断出AEF是等腰三角形即可求出∠AEF，利用对称性得出结论；
    （4）先借助（3）的结论求出∠BA'E=∠DAE=22.5°，在直角三角形DAE中求出tan∠DAE=$\sqrt{2}$-1即可．

    解答 解：（1）令x=0，则y=3，∴B（3，0）
    令y=0，则x=3，∴C（0，3），
    ∵点B，C在抛物线上，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
    （2）存在点P，
    理由：如图

    作直线MN∥BC，
    ∵抛物线开口向下，
    ∴直线MN与抛物线只有一个交点时，点P到直线BC的距离最大，此时的交点就是点P．
    设直线MN解析式为y=-x+b①，
    ∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3②，
    联立①②得，x2-3x+b-3=0，
    ∴△=9-4（b-3）=0，
    ∴b=$\frac{21}{4}$，
    ∴直线MN解析式为y=-x+$\frac{21}{4}$，③
    联立②③得x=$\frac{3}{2}$，y=$\frac{15}{4}$，
    ∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
    （3）由（1）知，B（3，0），C（0，3），
    ∴OB=OC，
    ∵∠BOC=90°，
    ∴∠AOC=∠BCO=45°，
    ∵抛物线对称轴x=1平行于y轴，
    ∴∠BFD=BCO=45°，
    连接FA，FA'
    ∵l⊥AB，且平分AB，
    ∴FA=FD，
    ∴∠AFD=45°，
    ∴∠AFB=90°，
    ∴AF⊥BC
    ∵A'与A关于BC对称，
    ∴AA'⊥BC交点就是点F，AF=A'F
    ∴直线BC解析式为y=-x+3与抛物线对称轴x=1的交点为F（1，2），
    ∵点E在x轴下方，且DE=2$\sqrt{2}$-2，
    ∴D（1，2-2$\sqrt{2}$），
    ∴EF=2$\sqrt{2}$，
    ∵A（-1，0），F（1，2），
    ∴AF=2$\sqrt{2}$，
    ∴EF=AF，
    ∵∠AFD=45°，
    ∴∠AEF=$\frac{1}{2}$（180°-∠AFD）=67.5°，
    ∵点E是线段AB垂直平分线上的点，
    ∴∠AEB=2∠AEF=135°，
    （4）由（3）知，点F是AA'的中点，
    ∵A（-1，0），F（1，2），
    ∴A'（3，4），
    ∵B（3，0），
    ∴∠A'BA=90°，
    ∵AE=BE，∠AEB=135°，
    ∴∠BAE=∠ABE=22.5°，
    ∴∠EBA'=112.5°
    由（3）知，EF=A'F，
    ∴∠FEA'=∠FA'E，
    ∵∠AFD=∠FEA'+∠FA'E=45°，
    ∴∠FEA'=$\frac{1}{2}$∠AFD=22.5°，
    由（3）知，∠AEF=67.5°，
    ∴∠AEA'=∠AEF+∠FEA'=90°，
    由（3）知，∠AEB=135°，
    ∴∠BEA'=∠AEB-∠AEA'=45°，
    在△A'BE中，∠EBA'=112.5°，∠BEA'=45°，
    ∴∠BA'E=22.5°，
    ∴∠DAE=∠BA'E=22.5°，
    在Rt△ADE中，AD=2，DE=2$\sqrt{2}$-2，
    ∴tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}=\sqrt{2}-1$，
    ∴tan∠BA'E=$\sqrt{2}-1$．

    点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线的对称性，线段的垂直平分线，直角三角形的判定，解本题的关键是DE=2$\sqrt{2}$-2充分利用．难点是判断点A，A'的连续与BC的交点刚好是直线BC和抛物线的对称轴的交点．

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    时刻/时024681012141618202224
    温度-3-5-6-4-3-1010-1-2-4-4
    A．0～4时B．4～14时C．14～22时D．14～24时

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    A．亏20%m元B．亏80%m元C．亏25%m元D．亏20%元

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    C．互相垂直且平分D．互相垂直且平分内角

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    （2）若∠CBD=90°，AB=BE，探究BD，BC，AB之间的数量关系，并证明；
    （3）若AC=kDE，AB=kBE，探究BD，BC，AB之间的数量关系．（用含有k，α的式子表示）

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