Question

4．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求∠EAG的度数；
（3）求BG的长．

Answer 1

分析 （1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；
（2）由（1）可得∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAF，由折叠的性质可得∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAF，继而可得∠EAG=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
（2）首先设BG=x，则可得CG=6-x，GE=EF+FG=x+3，然后利用勾股定理GE²=CG²+CE²，得方程：（x+3）²=（6-x）²+3²，解此方程即可求得答案．

解答 （1）证明；在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△AFG（HL）；

（2）∵△ABG≌△AFG，
∴∠BAG=∠FAG，
∴∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAF，
由折叠的性质可得：∠EAF=∠∠DAE，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAF，
∴∠EAG=∠EAF+∠FAG=$\frac{1}{2}$（∠DAF+∠BAF）=$\frac{1}{2}$∠DAB=$\frac{1}{2}$×90°=45°；

（3）∵E是CD的中点，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×6=3，
设BG=x，则CG=6-x，GE=EF+FG=x+3，
∵GE²=CG²+CE²
∴（x+3）²=（6-x）²+3²，
解得  x=2，
∴BG=2．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意折叠中的对应关系、注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．