Question

在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．
（1）填空：
①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（

 

，

 

）；
②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（

3

，90°），得到△ADE，则线段BD的长为

 

cm；
（2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，点O₁，O₂，O₃分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO₁O₃与△ABI，△CIB与△CAO₂之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O₁O₃与AO₂之间的关系．

Answer 1

分析：（1）①依题意已知1中△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，故可得A的坐标．
②已知2中△ABC旋转相似变换A（

3

，90°），得到△ADE，可推出∠BAD=90°，利用勾股定理可求出BD的值．
（2）依题意可得△AO₁O₃经过旋转相似变换A（

2

，45°），得到△ABI，故线段O₁O₃变为线段BI；△CIB经过旋转相似变换C（

2

2

，45°），得到△CAO₂，此时，线段BI变为线段AO₂，易得其关系．

解答：解：（1）这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．已知1中△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，故可得A（2，60°）．
依题意：①2，60°；
②已知2中△ABC旋转相似变换A（

3

，90°），得到△ADE以及AD=

3

，
可推出∠BAD=90°，
利用勾股定理可求出BD=2；

（2）△AO₁O₃经过旋转相似变换A（

2

，45°），得到△ABI，此时，线段O₁O₃变为线段BI；
△CIB经过旋转相似变换C（

2

2

，45°），得到△CAO₂，此时，线段BI变为线段AO₂．
∵

2

×

2

2

=1，45°+45°=90°
∴O₁O₃=AO₂，O₁O₃⊥AO₂．

点评：本题综合考查的是旋转的性质，相似三角形的性质，等边三角形的性质以及正方形的性质，难度中等．