Question

20．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（-2，0），B（6，0），C（0，-3）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）过C点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；
（3）若抛物线的顶点为P，连结PC、PD．
①判断四边形CEDP的形状，并说明理由；
②若在抛物线上存在点Q，使直线OQ将四边形PCED分成面积相等的两个部分，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线经过点C（0，-3），设出其解析式y=ax²+bx-3（a≠0），再将A、B点坐标代入即可得出结论；
（2）由抛物线的对称性可找到D点的坐标，分别求出AD、BC直线的解析式，联立方程组即可求得交点E的坐标；
（3）①连接PE交CD于F点，找出F点坐标，由对角线互相垂直且平分，可得出四边形CEDP为菱形；②根据菱形的特征可知，若想面积平分，必过对角线的交点F，联立直线OF和抛物线的解析式，即可求出Q点的坐标．

解答 解：（1）由于抛物线经过点C（0，-3），可设抛物线的解析式为y=ax²+bx-3（a≠0），
∵A（-2，0）、B（6，0）在抛物线图象上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-3=0}\\{36a+6b-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-x-3．
（2）抛物线的对称轴为x=-$\frac{-1}{2×\frac{1}{4}}$=2，
∵CD∥x轴，
∴C、D关于对称轴x=2对称，
故D点坐标为（2×2-0，-3），即D（4，-3）．
设直线AD的解析式为y=k₁x+b₁，直线BC的解析式为y=k₂x+b₂，
那么有$\left\{\begin{array}{l}{0=-2{k}_{1}+{b}_{1}}\\{-3=4{k}_{1}+{b}_{1}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{0=6{k}_{2}+{b}_{2}}\\{-3={b}_{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{{b}_{1}=-1}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{1}{2}}\\{{b}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1，直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-3．
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-1}\\{y=\frac{1}{2}x-3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴直线AD、BC的交点E的坐标（2，-2）．
（3）①连接PE交CD于F点，如图：

∵P点为抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-x-3的顶点，
∴P点坐标为（2，-4）．
又∵E（2，-2），C（0，-3），D（4，-3），
∴直线CD解析式为y=-3，直线EF解析式为x=2，
∴F点的坐标为（2，-3），且CD⊥EP，
∴PF=EF=1，CF=FD=2，
∴四边形CEDP是菱形．
②假设存在，
∵直线OQ将四边形PCED分成面积相等的两个部分，
∴直线OQ必过点F（2，-3）．
设直线OQ的解析式为y=kx，则有-3=2k，即k=-$\frac{3}{2}$，
∵Q点在直线OQ和抛物线上，
∴点Q的坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-x-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{13}}\\{y=\frac{3-3\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\sqrt{13}}\\{y=\frac{3+3\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$，
故存在点Q，使得直线OQ将四边形PCED分成面积相等的两个部分，Q点的坐标为（-1+$\sqrt{13}$，$\frac{3-3\sqrt{13}}{2}$）和（-1-$\sqrt{13}$，$\frac{3+3\sqrt{13}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的应用、菱形的判定与性质以及直线的交点问题，解题的关键：（1）代入已知点，细心计算即可求得抛物线解析式；（2）由对称性找到D点坐标，再分别求出直线AD、BC解析式，即可求得交点坐标；（3）①牢记菱形的判定定理；②熟悉菱形的特征．